basis einer funktion

Neue Frage »

pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »
basis einer funktion
mit wobei Alpha der Index der Funktion ist.
Gesucht ist eine Basis des U gegebenfalls mit Additionstheoremen....
Ich weiß nicht weiter wie ich bei soetwas vorgehe....weil das das erste mal ist dass ich eine Basis bestimmen soll^^
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Untervektorraum muss in einem Vektorraum liegen. Ohne Kenntnis des Vektorraums kommen wir nicht weiter.
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt wie dumm von mir der Vektorraum ist aller Funktionen

Ich bin also auf der Suche nach Basisfunktionen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Nun nehmen wir den Hinweis auf und betrachten das Additionstheorem für die Sinusfunktion :
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

= und dann??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das erstaunt mich ... verwirrt ... ich hätte das jetzt so geschrieben :
 
 
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

t ist ja meine abhängige Variable und die wird immer zuerst im Sinus verwendet laut wiki.... smile aber Kommutativ??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, ich versuche doch nur deinen Blick für das Wesentliche zu schärfen. cos(t) und sin(t) sind FUNKTIONEN. Du suchst eine Basis für U, diese besteht aus FUNKTIONEN.
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

ist sin(t+alpha) nicht schon die Basis weil durch die Additionstheoreme sich in der durch sin und cosinus aufgespannten Ebene alle alphas betas ..... ausdrücken lassen??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviele Funktionen sind sin(t+alpha) ? alpha aus R Big Laugh
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh.....unendlich da alpha Element der Reellen Zahlen ist........aber ich suche das minimale Erzeugendensystem........hmm?? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Wieviele sind sin(t) und cos(t) ? Und wissen wir bei "richtiger" Betrachtung nicht schon U<span(sin(t),cos(t)) smile
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

also sin(t) und cos(t) sind genau 2 funktionen.
aber warum ist der UNterraum kleiner als der span von sinus und cosinus?? mir leuchtet im moment eher dieser span als Basis ein durch die Additionstheoreme.....
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

also sin(t) und cosinus (t) liegen ja in U das kann man mit den additionstheoremen zeigen........
heißt das das sin(t) der span davon allein schon unsere Basis wäre.....sin(t+0) verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

U soll alle sin(t+a) enthalten, diese sind von der Form u*cos(t)+v*sin(t), also ist jedes Element aus U ein spezielles Element aus dem
von sin(t) und cos(t) aufgespannten Unterraum von Abb(R,R) .
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

heißt meine Basis wäre B=(sin(t),cos(t)) verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre ein schönes Ergebnis unserer Bemühungen. Wie beweisen wir die Umkehrung span(cos(t),sin(t))<U ?
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist die darstellung mitu*sin(t)+v*cos(t) schon logisch irgendwie nur frage ich mich wie man aus meiner nun angegebenen Basis so eine Linearkombination durch Vielfache machen kann weil es wäre durch die Linearkombination ja dann v*sin(t) +v*cos(t) aber ich muss v ja jeweils noch als sin oder cos(alpha) definieren?? Erstaunt1
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

sin(a) und cos(a) sind reelle Zahlen, das sind ganz normale zulässige Koeffizienten für den Vektorraum Abb(R,R) über R.
Nimm noch mal meinen letzten Hinweis auf. Wenn du zeigen kannst, dass sin(t) und cos(t) in U liegen, bist du fertig. Nebenbemerkung: "Das ist trivial." Lehrer
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

ja sin(t) in U? : k*sin(a+t) = sin(t) (k=1)
sin(a+t) = sin(t)
a+t = t ...... a = 0 also die Funktion f_0(t) entspricht sin(t)

cos(t) in U? k*sin(a+t) = cos(t) = cos(0+t) (k=1)

sin(a)cos(t)+cos(a)sin(t) = cos(t) sin(0) - sin(t) cos(0)
sin(a+t) = -sin(t) = sin(-t)
a+t=-t......a=-2t also die funtkion f_2t (t) entspricht cos(t)
das ist mein beweis für cos(t) und sin(t) in U aber was bringt mir das für die Basis??
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

dadurch das ich bewiesen habe das Cos(t) und sin(t) jeweils eine ganz spezielle Funktion aus der Menge U ist ist doch bereits der Beweis für sin(t) cos(t) <U??
also ist meine basis wirklich sin(t), cos(t)??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis ist noch nicht ganz sauber. das Problem ist nicht der Koeffizient sondern das alpha.
Tipp : Betrachte und
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

???
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Aufgabe, deine Definition von U, enthält Funktionen . Mein Vorschlag, was ist mit ?
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

ja der sin von pi ist der cos von pi halbe nämlich null.....heit meine 2t funktion ist im Primzip der Cosinus soll ich das umschreiben??
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

achtung nicht f(alpha) sondern

habe ich am anfang erwähnt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

f_0(t)=sin(t) hast du richtig geschrieben. bei cos(t) steht bei dir komischerweise f_2t(t) statt f_(pi/2)(t).

Nachdem wir das geklärt haben, ist die Aufgabe für mich vollständig erledigt, und
wir haben bewiesen. Damit ist eine Basis von Wink
pivotvariable Auf diesen Beitrag antworten »

Hab much Dank Freude
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Müssen die beiden Basisvektoren nicht auch noch linear unabhängig sein?
Sozusagen:

Wären die beiden Vektoren nun linear unabhänging, darf dir Gleichung ja nur für erfüllt sein. Aber für ist die Gleichung ja auch null. Wo liegt jetzt mein Fehler?

MfG
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, aber ich muss den Thread doch einmal hochpushen^^
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch mal eine andere Frage dazu.
Wenn
Dann heißt das doch:

Wobei es aber unendlich viele solcher Teilterme gibt, da ja alpha auch immer einen anderen Wert haben kann oder? Weil der Spann ist ja immer eine Linearkombination von den Vektoren.

MfG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _-Alex-_
Müssen die beiden Basisvektoren nicht auch noch linear unabhängig sein?
Sozusagen:

Wären die beiden Vektoren nun linear unabhänging, darf dir Gleichung ja nur für erfüllt sein. Aber für ist die Gleichung ja auch null. Wo liegt jetzt mein Fehler?

MfG
Die Funktionen sind Vektoren, sie sind l.u. über . Dass sie an Punkten übereinstimmen, hat damit nichts zu tun.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _-Alex-_
Ich hab noch mal eine andere Frage dazu.
Wenn
Dann heißt das doch:

Wobei es aber unendlich viele solcher Teilterme gibt, da ja alpha auch immer einen anderen Wert haben kann oder? Weil der Spann ist ja immer eine Linearkombination von den Vektoren.

MfG




Jede endliche Linearkombination lässt sich wieder in der Basis darstellen. War doch klar, da der Beweis vollständig war, oder ?
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Dass U so aussieht kam bisher findich nicht so raus. Darum hab ich ja gefragt ^^

EDIT:
Ich habe jetzt in meinem Beweis gesagt:


Muss ich jetzt den Weg rückwärts auch noch beweisen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ja kann sein. Da muss ich noch mal nachlesen. Ich habe während der Aufgabenbearbeitung immer an den Vektorraum gedacht, und ich glaube ich habe alles bewiesen ... oder wollte ich nur ... ?
Mir schien alles klar ... und zum Schluss habe ich heute noch mal die Kurve gekriegt. Danke für deine Frage.

Zum Glück muss man ja immer nur endliche Linearkombinationen betrachten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _-Alex-_
Muss ich jetzt den Weg rückwärts auch noch beweisen?


Was meinst du ?
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist ne doofe FrageBig Laugh .
Ich hab ja jetzt eigentlich erstmal nur gezeigt, dass ich U auf diesen neunen Spann zurückführen kann, und somit habe ich eine Basis.
Wenn ich jetzt noch zeigen müsste, dass ich von dieser Basis aus wieder auf meinen alten Spann, also die ursprüngliche Linearkombination komme, wär ja eigentlich das gleiche nur umgedreht und das ist ja eigentlich überflüssig, finde ich. Aber in Mathe wurde ich bisher so oft schon überrascht, dass ich nicht weiß ob ich jetzt schon fertig bin.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, fix und fertig. Viel weiter oben haben wir gezeigt, dass cos und sin in U =<f> liegen. Alle f's in <cos,sin> ist auch klar. In dieser Situation ist für mich schon klar, dass beide Erzeugnisse als Vektorräume gleich sein müssen. Ich war also doch schon vorgestern fertig. Diese Vektorräume sind ja viel größer als die erzeugenden Mengen.

Übungsaufgabe:
_-Alex-_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also den bisherigen Beweis hatte ich mir auch schon mal gedacht gehabt.
Ich habe nur wegen der Linearkombination extra nachgefragt, weil ich es so als vollständiger empfinde.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »