Äquivalenzbeweis Mengenlehre

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14.11.2010, 14:58	T-44	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzbeweis Mengenlehre Meine Frage: A, B seien Mengen $\begin{eqnarray} (A \setminus B) = \emptyset \end{eqnarray}$ Wie formuliere ich diese Gleichung um damit Äquivalenzen zu beweisen. z.B. zu $\begin{eqnarray} A \subset B \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} x \in A \wedge x \not \in B = \emptyset \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray}$ Ich weiß einfach nicht, wie ich mit der Gleichung umgehen soll. Kann man für $\begin{eqnarray} A \subset B \end{eqnarray}$ schreiben $\begin{eqnarray} x \in A = x \in B \end{eqnarray}$ ? Und wie werde ich die leere Menge los?
14.11.2010, 22:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein indirekter Beweis bietet sich hier besser an. Nehme an es wäre nicht $\begin{eqnarray} A\subset B \end{eqnarray}$ , dann gibt es ein Element x, so dass was gilt?
15.11.2010, 19:08	T-44	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (A \setminus B) \cup (A \setminus C) = \emptyset \Rightarrow \nexists x \in A : x \not \in B \wedge x \not \in C \Rightarrow \forall x \in A : x \in B \vee x \in C \end{eqnarray}$ Ist das eine gültige Folgerung?
15.11.2010, 19:27	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis ist schwieriger wenn du ein C noch mit reinbringst. Insbesondere verhaspelt man sich leicht mit den logischen Verknüpfungen. So auch du, du hast "und" und "oder" vertauscht.
15.11.2010, 19:35	T-44	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich und und oder umdrehe dann ergibt es irgendwie keinen Sinn mehr. Denn es gibt keine Elemente in A die nicht in B oder C enthalten sind. Also nicht in B und nicht in C. Denn sobald ein Element in B enthalten ist und nicht in C also (B oder C) kann es ja in A liegen. Umgekehrt liegen alle Elemente von A in B oder C. Der Durchschnitt in diesem Fall wären ja alle Elemente von A die weder in B noch in C lägen und davon gibt es keine.
15.11.2010, 19:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} A\setminus B \cup A\setminus C = \emptyset \end{eqnarray}$ dann ist auch $\begin{eqnarray} A\setminus B = \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\setminus C = \emptyset \end{eqnarray}$ . Daraus folgt jeweils: $\begin{eqnarray} x\in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in A \Rightarrow x\in C \end{eqnarray}$ . Zusammen folgt also: $\begin{eqnarray} x\in A \Rightarrow x\in B \land x\in C \end{eqnarray}$
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15.11.2010, 19:53	T-44	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sollte ich das Ziel meiner Reise darstellen es soll eine Folgerung werden zu $\begin{eqnarray} A \subset B \cup C \end{eqnarray}$ Insgesamt gibt es drei Aussagen deren Äquivalenzen nachzuweisen sind. Mein Weg ist daher aus 1. folgt 2. folgt 3. folgt 1. um einen Kreislauf zu bekommen.
15.11.2010, 19:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher, dass du dann nicht $\begin{eqnarray} (A\setminus B)\cap (A\setminus C) = \emptyset \end{eqnarray}$ als Voraussetzung haben willst?
15.11.2010, 20:00	T-44	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da hast du vollkommen Recht. Ich habe mich ärgerlicherweise im Code vertippt und dann immer fleißig kopiert ;o) Ich habe quasi an meiner eigenen Behauptung vorbeigeredet...
15.11.2010, 20:17	T-44	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (A \setminus B) \cap (A \setminus C) = \emptyset \Rightarrow \nexists x \in A : x \not \in B \wedge x \not \in C \Rightarrow \forall x \in A : x \in B \vee x \in C \end{eqnarray}$ So sollte es dann eigentlich aussehen. Was ich aber nun eigentlich nur wissen will, ist ob man so eine Folgerung überhaupt machen kann (bezogen auf die Schreibweise bzw den Schritt von der leeren Menge zu "es gibt kein Element").
15.11.2010, 20:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lnot \exists x\in (A\setminus B)\cap (A\setminus C) \Rightarrow \lnot \exists x\in A: x\not\in B \land x\not\in C \end{eqnarray}$

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