Abzählbarkeit

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Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit
Meine Frage:
Gegeben ist, dass eine Menge M nicht leer sei und die Abbildung f: N (natürliche Zahlen) --> M surjektiv sei.
Jetzt soll ich zeigen, dass M abzählbar ist.


Meine Ideen:
Meine Ansätze dazu sind:
N ist abzählbar (davon darf ich doch ausgehen, oder?)
Jetzt muss ich also zeigen, dass N und A gleichmächtig sind. Dann weiß ich, dass A auch abzählbar ist.
Dass die Mengen gleichmächtig sind, beweise ich dadurch, dass sie bijektiv sind.
Dazu wiederum müsste ich zusätzlich zur gegebenen Surjektivität zeigen, dass die Mengen auch injektiv sind.
Injektivität heißt: jedem x-Wert wird höchstens ein y-Wert zugeordnet. Also jedem Wert aus der Menge N wird höchstens ein Wert aus der Menge M zugeordnet.
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das zeigen kann, da ich doch von M so gut wie nichts weiß... ich weiß nur, dass die Menge M nicht leer ist und das N --> M injektiv ist- aber daraus kann ich doch jetzt nicht schließen, dass sie surjekiv ist! Also habe ich keine Idee WOraus ich das denn schließen kann! Ich weiß nicht, ob ich da gerad völlig auf dem Schlauch stehe...
Aber es wäre toll, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte- und ich bedanke mich dafür schonmal im Voraus! Augenzwinkern
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivität brauchst du gar nicht. Du weisst, dass f surjektiv ist. Was bedeutet Surjektivität? Was heisst das in diesem Fall?

MfG
Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet, dass jeder Wert aus M mindestens einem Wert aus N zugeordnet wird. Also, dass z.B. die natürlichen Zahlen 1 und 2 beide dem gleichen Wert aus M zugeordnet werden könnten!
Und es existiert M= f(1), f(2),...., f(n)
Daraus würde also folgen, dass es kleiner/gleich viele Elemente in M gibt wie in N.


Aber wie soll ich das denn ohne Injektivität beweisen- heißt das dann also auch ohne Bijektivität! (?)
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Warum möchtest du denn überhaupt Injektivität beweisen? Steht irgendwo in der Aufgabenstellung etwas, was auch nur im Entferntesten etwas mit Injektivität bzw. Bijektivität zu tun hat? Alles, was du willst, ist beweisen, dass M abzählbar ist.

Du hast richtig bemerkt, dass Surjektivität bedeutet, dass es maximal gleich viele Elemente in M gibt wie in N. Was weisst du über die Menge der natürlichen Zahlen?

MfG
Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar. Deshalb wollte ich ja zeigen, dass M gleichmächtig ist zu N- und das wiederum mit Bijektivität zeigen.... (wobei ich nicht wüsste wie...) - aber scheinbar geht das anders...?! (In der Aufgabe steht natürlich nichts von Bijektivität und Injektivität...).
Reicht es denn zu sagen, dass M maximal so viele Elemente hat wie N und da N abzählbar ist, ist M es dann erst recht?! Das muss ich doch sicherlich noch irgendwie zeigen...?
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar. Jede Menge, die weniger Elemente als die Menge der natürlichen Zahlen enthält, ist höchstens abzählbar. Damit reicht es zu sagen, was du in deinem zweitletzten Satz gesagt hast...

MfG
 
 
Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank soweit!
Und das reicht, wenn ich das einfach in Sätzen erkläre ohne mathematischen Formeln o.ä.?
Und ich darf davon ausgehen, dass N abzählbar ist, oder muss das irgendwie bewiesen werden?
(Die Aufgabe bringt relativ viel Punkte... das irritiert...)
Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja jetzt gezeigt, dass A HÖCHSTENS abzählbar ist... ist das denn gleich zu setzen mit "abzählbar"? Oder was wäre es sonst, wenn nicht abzählbar?
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht das Gleiche. Es ist weniger als abzählbar. Aber ich nehme an, dass das bei euch das Gleiche ist, da du sonst nicht "zeigen" müsstest, dass M abzählbar ist...

MfG
Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und mit Bijektivität/Injektivität könnte das nichts zu tun haben? Ich will ja nicht nerven... verwirrt aber: Die Aufgabe ist ja, dass wir zeigen sollen, dass M abzählbar ist, also auch eigentlich nicht weniger als abzählbar... deshalb hätte ich eben zeigen wollen, dass die Mengen bijektiv sind, dass M also gleichmächtig zu N ist.... Aber da hab ich wie gesagt keinen Ansatz zu...
Also wenn da irgendwer vielleicht doch noch eine Idee zu hätte, wäre das toll!
Aber danke für die Hilfe bis hierhin. smile
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir sicher bist, dass ihr zeigen sollt, dass M abzählbar ist (d.h. NICHT höchstens abzählbar), dann schreibe folgendes hin:



M ist nicht leer, und die Abbildung f: N -> M ist surjektiv. Damit hast du gezeigt, dass M nicht abzählbar ist, da f nicht injektiv ist. Die Aufgabenstellung ist halt sehr vage...

MfG
Frager1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, danke!
Das Fettgedruckte sollte doch bestimmt heißen: nicht "höchstens" abzählbar, oder?

Dem letzten Beitrag konnte ich jetzt allerdings nicht mehr wirklich folgen.... verwirrt
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