Verschoben! Dezimalzahl in Bruch umwandeln

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14.11.2010, 15:18	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalzahl in Bruch umwandeln Hallo zusammen, habe eine Aufgabe, bei der ich die Dezimalzahl 0,33333.... in einen Bruch umwandeln soll. Mein Gedanke: geometrische Reihe $\begin{eqnarray} 0,3333.... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = \frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{3}{10^{n}} = 3\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{10^{n}} = 3\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+...\right) = \frac{333...3}{10^{n}} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich aber nicht weiter, wie ich den Zähler mit n dreier zusammenfassen kann und weiter ausrechnen kann, damit $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ rauskommt. Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke.
14.11.2010, 15:21	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wär's denn damit? n = 0,333..... 10n = ?? Weißt du, wie es weiter geht?
14.11.2010, 15:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber weshalb postest du dieses Theme in der Hochschulmathematik? Bitte mehr Sorgfalt bei der Auswahl des Forumbereiches walten lassen! * verschoben * mY+
14.11.2010, 15:34	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh ich nicht. Wenn ich n=0,333... setz, dann ist $\begin{eqnarray} 10\cdot n = 3,3333.... \end{eqnarray}$ oder meintest $\begin{eqnarray} 10^{n} \end{eqnarray}$ ? Aber da seh ich leider noch immer nicht, was Du damit meinst.
14.11.2010, 15:36	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nein, ist schon richtig! Und nun 10n - n = ...
14.11.2010, 15:46	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 10n - n = 9n = \frac{9}{3} = 3 \end{eqnarray}$ Aber was hat das mit einer geometrischen Reihe zu tun? Und das Ergebnis ist immer noch nicht 1/3. Es tut mir Leid, aber irgendwie versteh ich es nicht. Schwieriger Fall.
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14.11.2010, 15:49	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
10n - n = 3,333... - 0,333... 9n = 3 n = 3 / 9 = 1 / 3 ... und ganz ohne geometrische Reihe!
14.11.2010, 15:54	TomkeS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dezimalzahl in Bruch umwandeln Eine andere Möglichkeit ist folgende: Man kann nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} 0,1111... = \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ (1:9 ausrechnen!). Demnach wären $\begin{eqnarray} 0,3333... = 3 \cdot 0,1111... = 3 \cdot \frac19=... \end{eqnarray}$
14.11.2010, 15:56	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt logisch. Und wie macht man das anhand einer geometrischen Reihe?
14.11.2010, 16:02	TomkeS	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der geometrische Reihe, in dem man eine Formel hat: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} q^n = \frac{q^{n+1} -1}{q-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} q \neq 1 \end{eqnarray}$ s. Wikipedia

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