Summe in Basis einer Potenz stört beim Induktionsbeweis

14.11.2010, 15:31	ffeelliixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe in Basis einer Potenz stört beim Induktionsbeweis Hallo, ich soll einen Induktionsbeweis führen. Zu beweisen ist: $\begin{eqnarray} n^{log_{2}(n)} > (n + 1)^{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n > 4 \end{eqnarray}$ Induktionsanfang und -vorraussetzung sind kein Problem. Beim Induktionsschluss komme ich allerdings nicht weiter: $\begin{eqnarray} (n+1)^{log_{2}(n+1)} = (n+1)^{log_{2}(n)} \cdot (n+1)^{log_{2}(1)} = (n+1)^{log_{2}(n)} \end{eqnarray}$ Hier hänge ich dann. Ich müsste irgendwie die Basis von (n+1) in (n) umformen um die Induktionsvorraussetzung verwenden zu können, aber das geht doch nicht, oder? Zumindest haben meine beiden Formelsammlungen mir nicht weiterhelfen können. Ich wäre um einen Tipp sehr dankbar vg Felix
14.11.2010, 16:26	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst für den Term doch die binomische Formel $\begin{eqnarray} (a+b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} a^i b^{n-i} \end{eqnarray}$ benutzen
14.11.2010, 17:39	ffeelliixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube das bringt mich nicht weiter... Oder wie würdest du diese Umformung verwenden?
14.11.2010, 17:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich würde halt einen Teil der Summe benutzen, den Rest "wegwerfen"
14.11.2010, 18:04	ffeelliixx	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h. in meinen Fall jetzt: $\begin{eqnarray} (n + 1)^{log_{2}(n))} = \sum_{i=0}^{log_{2}(n)} {log_{2}(n) \choose i} a^{i} b ^{log_{2}(n) - i} \end{eqnarray}$ Sollte ich nicht allzu begriffsstutzig sein, komme ich damit doch nicht auf meine Induktionsvorraussetzung. $\begin{eqnarray} (n^{log_2(n)}) \end{eqnarray}$ Kann ich denn bei einer Summenformel als obere Grenze eine gebrochene Zahl angeben?
14.11.2010, 21:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo da war ich zu voreilig. Musst du denn einen Induktionsbeweis liefern? Ich hab mir auf die schnelle einen direkten Beweis basierend auf $\begin{eqnarray} \log_2(n) > 2 \end{eqnarray}$ ausgedacht.
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15.11.2010, 08:45	ffeelliixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es muss auf jeden Fall ein Induktionsbeweis sein. Mittels vollständiger Induktion. Abschätzungen sind aber erlaubt (geht ja denk ich bei Ungleichungen gar nicht anders)...

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