basis und komplement

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wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »
basis und komplement
Sei die lösungsmenge von
.
Ich soll eine Basis bestimmen und ein Komplement E zu U das mit U zum 4-dimensionalen Reellen ergänzt wird.

Ich komme im Moment bloß zu folgendem Formalismus:




aber ist das nicht schon meine Basis......und mein Komplement wäre eine dredimesnionale Ebene??
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier ja keinerlei Matrix gegeben verwirrt
 
 
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

i need help Wink Wink Wink Wink Wink
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wirtschaftsmathe
Ich habe hier ja keinerlei Matrix gegeben verwirrt


Oh doch. Hast du. Nämlich diese:

wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber die brauche ich doch gar nicht......eigentlich handelt es sich hierbei doch um eine Gerade im Vierdimensionalen??

Deswegen ist (1,-2,-5,+3) (transponiert) doch bereits meine Basis oder ?? verwirrt
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Denn dann wäre ja jeder Vektor aus dem Spann dieses Vektors eine Lösungsmenge der Gleichung. Zum Beispiel ist (1,-2,-5,3) keine Lösung der Gleichung. Müsste es aber sein.

Denk noch mal genau drüber nach: Du benötigst die Lösungsmenge der Gleichung. Die Gleichung selbst ist eine Gerade, ja. Aber das interessiert ja gar nicht.

Die Matrix, die ich angegeben habe, kann dir helfen: Was machst du denn bei einem "richtigen" LGS Ax = b, wenn Nullzeilen bei der (durch Gauß) umgeformten Matrix auftauchen?
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Nullzeilen kann man im Prinzip doch streichen......und man versucht eben eine Lösung durch eine wahre Aussage zu finden........der Nullvektor wäre zumindest schon einmal eine Lösung.....wobei ich kann ja eigentlich zum Beispiel x_1 durch die anderen Vektoren ausdrücken indem ich die Gleichung einfach umforme.....linear abhängig??
aber wie komme ich dann auf eine Basis......(1,0,0,0)?? verwirrt
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin der Meinung das bei der matrix doch die Spalte besetzt ist und nicht die erste Zeile??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix-Vektor-Multiplikation ist zeilen- mal spaltenweise definiert. Die Matrix stimmt schon, keine Sorge. Es ergibt sich deine gewünschte Gleichung und drei wahre Aussagen "0=0".

Zitat:

x_1 durch die anderen Vektoren ausdrücken indem ich die Gleichung einfach umforme.....linear abhängig


Jein. Vielleicht meinst du ja das richtige.

Wenn Nullzeilen autreten, kannst du Variablen beliebig wählen. Da hier drei Nullzeilen vorhanden sind, kannst du beliebig wählen.

Setze also und setze das in die erste Gleichung ein, löse nach auf. Dann hast du eine Lösungsmenge, die übrigens eine Hyperebene darstellt.
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

ok.....aber ich kapier des irgendwie nicht das ist mir alles noch nicht so klar.....ich habe jetzt x_1 ausgedrückt durch freie Variablen.....aber dazu muss mir erst mal die Matrix einleuchten:

mal x = 0??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Diese Matrix tut nicht das, was sie soll. Erkennst du, dass das:

Zitat:
Original von wirtschaftsmathe
.


äquivalent zu dem ist

?

Mach dir auch noch mal die Aufgabe klar. Es passiert nichts böses. Du sollst zunächst mal lediglich die Lösungsmenge eines LGS finden. Mehr nicht, zu den Basen kommen wir danach.
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Stichwort hierbei ist das Matrix Vektor Produkt....dass haben wir auch so im Skript aufgeschrieben mit x_1 mal spalte von a_1.... also das ist also doch richtig.....das die Zahlen in ein Zeile müssen....das ist jetzt schon einmal klar.
Ja es steht in der Aufgabenstellung dass U die Lösungsmenge dieser Gleichung sei......allerdings wissen wir U noch nicht also müssen wir es bestimmen undavon später die Basis....ok alles klar soweit?? Freude
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Aber wir kennen U bereits. Schauen wir noch mal alle Beiträge des Threads an ...

Zitat:
Original von Cel


Zitat:
Original von wirtschaftsmathe


Wenn du das jetzt zusmmen packst, hast du dein U. Und damit du eine Basis auch schön schnell siehst, schreib es in Form einer Hyperbene.

wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

???

oder u(2,0,0)+s(0.5.0)-t(0.0.3)
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn jetzt? Du kennst doch bestimmt eine Ebene? Bzw. eine Hyberebene? Du musst die Vektoren einfach passend auseinander ziehen, so dass du eine Ebene in Parameterform hast.

Einfaches Beispiel:



Erkennst du, was ich gemacht habe? Die Vektoren auseinanderziehen, so dass jeweils nur eine Variable bzw. 0 in den einzelnen Vektoren stehen und dann ausklammern. Geht bei dir genau so, nur, dass die Dimension höher ist.
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube:


wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

besteht meine Basis dann nicht schon aus diesen drei vektoren........und wie finde ich dann das Komplement mit dem die direkte Summe den vierdimensionalen Reellen Vektorraum ergibt??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wirtschaftsmathe
ich glaube:


Zitat:
Original von wirtschaftsmathe
besteht meine Basis dann nicht schon aus diesen drei vektoren.......


Genau. Gut, eine Basis von U haben wir. Was gilt denn für V im Zusammenhang mit U? Beide Basen zusammen bilden eine Basis vom .

Du musst also die bisherigen Vektoren durch einen anderen Vektor zu einer Basis ergänzen. Das geht zum Beispiel dadurch, dass du die drei Vektoren in eine Matrix schreibst, sie auf Zeilenstufenform bringst und dann in die letzte Zeile einen Vektor schreibst, so dass die neue Matrix eine 4X4-Matrix in Zeilenstufenform ist. Dieser ergänzte Vektor ist dann Basis des Ergänzungsraumes.
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

blöde frage aber kann ich in meiner matrix genau 3 vektoren nebeneinander und die vektoren jeweils als spalten schreiben und dann die erste zeil (2,5,-3) mit der 2.zeile (1,0,0) tauschen?
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

die matrix schreibweise für jetzt ist mir noch nicht ganz klar :

stimmt diese Matrix? und kann ich da dort die erste mit der zweiten Zeile vertauschen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das gibt ein Kuddelmuddel. Schreib sie als Zeilen und führe Zeilenumformungen durch.

Du KANNST sie auch als Spalten schreiben und Spaltenumformungen machen (und dann auch Spalten vertauschen), dann musst du aber auch "Spaltenstufenform" erzeugen und das ist sehr verwirrend. Ganz sicher bin ich mir da gerade selbst nicht, man möge mich verbessern.

Mach's lieber mit den Zeilen.
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

(2,1,0,0) als erste Zeile?.....
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und die anderen auch als Zeilen darunter.
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

ich darf bei matrizen auch z.b. zeile 2 mal 2 - zeile 1 mal 5 oder?
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »



heißt (o,o,o,1) als neue Komplement Basis?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel, ja. Dann wäre die Aufgabe auch fertig. smile
wirtschaftsmathe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Vielen Dank.........ohne dieses Forum .....wau...... Freude danke!
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