Dualzahl teilen/kürzen

14.11.2010, 17:03

Karo112

Dualzahl teilen/kürzen

Meine Frage:
Wann ist eine Dualzahl durch 2^k für k=1,2,3... teilbar? Wie kürzt man einen Dualbruch um einen gemeinsamen Faktor 2^k?

Meine Ideen:
Zum ersten Teil denke ich, dass sie an der k-ten Stelle eine 1 zu stehen haben muss. Ist das richtig? Und beim 2. Teil denke ich, dass man an der Stelle die 1 einfach wegstreicht?
Helft mir bitte.

14.11.2010, 17:38

Cugu

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Hm, überprüfen wir mal deine Ideen.

Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 = 7\cdot 10^0 \end{eqnarray*}$ .
Da stehen ziemlich viele Einsen, aber $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ ist kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 7\cdot 10^0 \end{eqnarray*}$ .

Ein anderes Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^2+0 \cdot 2^1+0 \cdot 2^0 = 4\cdot 10^0 \end{eqnarray*}$
Hier ist $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} 4\cdot 10^0 \end{eqnarray*}$ , obwohl erst der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Idee ist also leider falsch.

Wann ist eigentlich eine Dezimalzahl durch $\begin{eqnarray*} 10^k \end{eqnarray*}$ teilbar und wie teil man die durch $\begin{eqnarray*} 10^k \end{eqnarray*}$ ? Das könnte bei Dualzahlen ähnlich sein...

14.11.2010, 17:48

Karo112

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So hab ich das nicht gemeint.
Wieso muss man die Zahl denn ins Dezimalsystem umrechnen, nur um zu sagen, dass sie im Dualsystem durch 2^k teilbar ist?
Ich wollte damit einfach nur sagen:
1011 ist z.B. durch 2^0, 2^1 und 2^3 teilbar, weil an der 1.,2. und 3. Stelle eine 1 steht...ich dachte die Frage wäre so gemeint?!

14.11.2010, 18:01

Cugu

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Zitat:

Wieso muss man die Zahl denn ins Dezimalsystem umrechnen

Muss man nicht, es genügt, wenn du so heraus finden kannst, dass $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^3+0 \cdot 2^2+1 \cdot 2^1+1 \cdot 2^0 \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ und erst recht nicht durch $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Zitat:

weil an der 1.,2. und 3. Stelle

Wohl eher an der $\begin{eqnarray*} 0. \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} 1. \end{eqnarray*}$ und der, $\begin{eqnarray*} 3. \end{eqnarray*}$ Stelle, aber sei es drum. Es stimmt so oder so nicht.

14.11.2010, 18:12

Karo112

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Ok, ich hab das jetzt verstanden...
im Dezimalsystem ist eine Zahl durch 10^k teilbar, wenn sie k Nullen (hinten an der Zahl) besitzt. Also ich meine 12000 ist für k=1,2,3 durch 10 teilbar...
Vielleicht müssen im Dualsystem dann auch die hinteren Zahlen alle 1 sein?

14.11.2010, 18:32

Cugu

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Zitat:

Vielleicht müssen im Dualsystem dann auch die hinteren Zahlen alle 1 sein?

Oder die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2^{k-1} \end{eqnarray*}$ müssen alle gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein (analog zum 10er-System) und es ist egal welcher Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ steht...

14.11.2010, 18:45

Karo112

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also meinst du damit, dass z.b 0001 durch 2^3 und 2^2 und 2^1 und 2^0 teilbar ist?

und wie kürzt man dann um den faktor 2^k?

14.11.2010, 19:06

Cugu

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Zitat:

also meinst du damit, dass z.b 0001 durch 2^3 und 2^2 und 2^1 und 2^0 teilbar ist?

Nein, $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist nur durch $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ teilbar! Um durch $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ teilbar zu sein, müssten am rechten Ende eine Null, um durch $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ teilbar zu sein zwei Nullen und um durch $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ teilbar zu sein drei Nullen stehen. Da ist aber keine einzige Null am rechten Ende.

$\begin{eqnarray*} 1000_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 10000_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 100000_2 \end{eqnarray*}$ sind hingegen durch $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ teilbar.

Zitat:

und wie kürzt man dann um den faktor 2^k?

Überleg dir doch erst einmal wie man durch $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ teilt!

Das könnte insbesondere zu Beweiszwecken helfen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^Na_j2^j =\sum_{j=0}^{k-1}a_j2^j+\sum_{j=k}^Na_j2^j=\sum_{j=0}^{k-1}a_j2^j+\sum_{j=0}^{N-k}a_{j+k}2^{j+k}=\sum_{j=0}^{k-1}a_j2^j+2^k\sum_{j=0}^{N-k}a_{j+k}2^{j} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 19:20

Karo112

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Ok.
Ich weiß gar nicht, wie das funktionieren soll...
Wenn man jetzt 1000 hat und man soll z.B. durch 2^2 teilen, dann müsste ja die "1" 2 Stellen nach rechts rutschen....und durch 2^3 müsste die "1" drei Stellen nach rechts...
ist das so richtig?

und wenn man dann einen Dualbruch kürzen will, müssen die 2 Zahlen a durch denselben Faktor teilbar sein und dann müssten die "1" um die gleiche Anzahl an Stellen verschoben werden, oder?

14.11.2010, 20:40

Cugu

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Ja, alles muss um $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Stellen nach rechts rutschen. Das nennt man Bitshift.

Ja, für einem Bruch macht man das dann in Zähler und Nenner.
Zum Beispiel gilt $\begin{eqnarray*} \frac{10100_2}{101100_2}=\frac{101_2}{1011_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{10100_2}{100000_2}=\frac{101_2}{1000_2}=0.101_2 \end{eqnarray*}$ .

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