Zahlentheorie Quadrat

14.11.2006, 23:32

piloan

Zahlentheorie Quadrat

guten abend ...
hab hier noch mal ein prob mit der aufgabe

$\begin{eqnarray*} g^{4}+2g^{3}+2g^{2}+2g+5 \end{eqnarray*}$

dieser term kann nur ein quadrat fuer

$\begin{eqnarray*} g=2 \end{eqnarray*}$ ergeben....

g ist in den natuerlichen Zahlen.

nun hab ich mir den term mal angeschaut und sehe noch
das folgendes gilt.....z ist die gesuchte quadratzahl

$\begin{eqnarray*} g^{4}+2g^{3}+2g^{2}+2g+5=z^{2} \end{eqnarray*}$

dies ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (g^{2}+g+1)^{2}+2^{2}=g^{2}+z^{2} \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 23:44

Menelaos

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Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung?!

14.11.2006, 23:47

piloan

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Zeige, dass $\begin{eqnarray*} g^{4}+2g^{3}+2g^{2}+2g+5 \end{eqnarray*}$ nur ein Quadrat sein kann wenn g=2 ist und

zeige ,dass $\begin{eqnarray*} g^{4}+g^{3}+g^{2}+g+1 \end{eqnarray*}$ nur ein Quadrat sein kann wenn g=3 ist

15.11.2006, 08:15

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Im Grunde genommen bist du auf der richtigen Spur:

Für $\begin{eqnarray*} g\geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} z^2 = (g^2+g+1)^2-g^2+2^2 < (g^2+g+1)^2 \end{eqnarray*}$ ,

also ist da $\begin{eqnarray*} z<g^2+g+1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur noch konsequent die andere Richtung betrachten, dazu nehmen wir die um eins kleiner Zahl:

$\begin{eqnarray*} z^2 = (g^2+g)^2+g^2+2g+5 > (g^2+g)^2 \end{eqnarray*}$ ,

also gilt $\begin{eqnarray*} z>g^2+g \end{eqnarray*}$ sogar für alle $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Und da es keine natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g^2+g<z<g^2+g+1 \end{eqnarray*}$ gibt, kann es für $\begin{eqnarray*} g\geq 3 \end{eqnarray*}$ keine derartigen Lösungen geben! Bleiben nur noch die paar Einzelfälle $\begin{eqnarray*} g\leq 2 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

Eine ähnliche Technik hilft auch bei der zweiten Aufgabe, allerdings muss man dort noch ein bisschen genauer basteln. Augenzwinkern

15.11.2006, 10:23

piloan

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ich find diese bloede umformung fuer den 2. teil nicht unglücklich

15.11.2006, 10:33

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Wie geht man systematisch vor? Dazu betrachte man die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1+x+x^2+x^3+x^4} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} g^4 + g^3 + g^2 + g + 1 = \left[ g^2\cdot f\left( \frac{1}{g} \right) \right]^2 \end{eqnarray*}$

Interessant ist besonders das Verhalten für große $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , d.h., in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Schauen wir uns die Taylorentwicklung an dieser Stelle an:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + O(x^3) \end{eqnarray*}$ ,

das ergibt eingesetzt

$\begin{eqnarray*} g^4 + g^3 + g^2 + g + 1 = \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{8} + O\left( \frac{1}{g} \right) \right]^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man ja mal schauen, was bei Weglassen des Restgliedes $\begin{eqnarray*} O\left( \frac{1}{g} \right) \end{eqnarray*}$ genau rauskommt:

$\begin{eqnarray*} \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{8} \right]^2 = g^4 + g^3 + g^2 + \frac{3}{8}g + \frac{9}{64} \end{eqnarray*}$

sowie dann auch noch die nächstgrößere "mögliche" ganze Zahl als Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \right]^2 = g^4 + g^3 + \frac{5}{4}g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir das erstmal weiter...

15.11.2006, 10:49

piloan

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hi arthur ...
habs gerade mir angeschaut...und habs verstanden...nur hab ich keine ahnung wie ich jetzt die weiteren schritte mache ....auch einfach was weglassen und probieren oder hab ich da ein schema verpasst verwirrt

hmhmhmhmh .....oder was dazu addieren ?

15.11.2006, 10:59

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Na schau dir doch mal die Differenzen zu deinem Wunschterm an:

$\begin{eqnarray*} (g^4+g^3+g^2+g+1)-\left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{8} \right]^2 = \frac{5}{8}g + \frac{55}{64} > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (g^4+g^3+g^2+g+1)-\left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \right]^2 = -\frac{1}{4}g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Letzteres ist negativ für große $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , da musst du halt mal genau schauen, ab wann...

15.11.2006, 11:16

piloan

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$\begin{eqnarray*} (g^4+g^3+g^2+g+1)-\left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \right]^2 = -\frac{1}{4}g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

ist negativ fuer $\begin{eqnarray*} g >3 \end{eqnarray*}$ aber in aufgabe 1 sind wir doch 2 mal von dem ausgangsterm ausgegangen und haben dann abgeschaetzt duruch geeignete umformungen ....hier seh ich das noch nicht...sorry fuer die bloedheit Wink

15.11.2006, 11:20

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Zitat:

Original von piloan
$\begin{eqnarray*} (g^4+g^3+g^2+g+1)-\left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \right]^2 = -\frac{1}{4}g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

ist negativ fuer $\begin{eqnarray*} g >3 \end{eqnarray*}$

Richtig. Fassen wir mal zusammen: Für g>3 erhalten wir also

$\begin{eqnarray*} g^2+\frac{1}{2}g+\frac{3}{8} < z < g^2+\frac{1}{2}g+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wieviel ganze Zahlen liegen denn im offenen Intervall $\begin{eqnarray*} \left( g^2+\frac{1}{2}g+\frac{3}{8},g^2+\frac{1}{2}g+\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , die noch eventuell als Lösung in Frage kommen ? Augenzwinkern

15.11.2006, 11:53

piloan

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wohl keine wenn ich das richtig sehe ....
aber irgendwie durchblick ich den ganzen beweis noch nicht 100%ig...
ich bilde die differenz von dem ausgangsterm und den abgeschaetzen termen ...sehe einmal ist die differenz größer als 0 fuer alle g und die andere differenz ist fuer g>3 kleiner als 0 ..irgendwie steh ich aufm schlauch traurig

15.11.2006, 13:35

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Die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton wachsend, also kann man aus $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2} \end{eqnarray*}$ schließen

Du willst die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2=g^4+g^3+g^2+g+1 \end{eqnarray*}$ in ganzen Zahlen lösen. Durch rein algebraische Umformungen haben wir

$\begin{eqnarray*} \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{8} \right]^2 + \left( \frac{5}{8}g + \frac{55}{64} \right) = g^4+g^3+g^2+g+1 = z^2 = \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \right]^2 -\left( \frac{1}{4}g^2 - \frac{1}{2}g - \frac{3}{4} \right) \end{eqnarray*}$

erhalten. Wegen $\begin{eqnarray*} \frac{5}{8}g + \frac{55}{64}>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}g^2 - \frac{1}{2}g - \frac{3}{4}>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g>3 \end{eqnarray*}$ kann man nun links und rechts abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{8} \right]^2 < z^2 < \left[ g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \right]^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g>3 \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Monotonie der Wurzelfunktion anwenden, also "Wurzel ziehen":

$\begin{eqnarray*} g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{3}{8} < z < g^2 + \frac{1}{2}g + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g>3 \end{eqnarray*}$

Was ist daran denn jetzt so schwer zu verstehen?

15.11.2006, 13:54

piloan

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ich sehs deutlich .....mein fehler.... danke Freude

den fall g=1 bzw im bsp 2 g=1,2 kann ich ja so direkt widerlegen dann muesste ich es haben....danke Gott

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