Grenzwertbestimmung mit Sandwich-Lemma

14.11.2010, 17:56

Heinzelmann

Grenzwertbestimmung mit Sandwich-Lemma

Hallo Forum,
ich muss für folgende Folge reeller Zahlen den Grenzwert bestimmen:
$\begin{eqnarray*} b_n=\sqrt{n²+4n+6}-n\quad \forall n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe auch, denke ich, eine ungefähre Vorstellung davon, was das Sandwich-Lemma macht und wie es anzuwenden ist, jedoch fällt mir für die gegebene Folge leider keinerlei obere/untere Schranke ein.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

14.11.2010, 18:11

Leopold

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Ist das Sandwich-Lemma ausdrücklich verlangt? Denn ansonsten geht es mit einem bekannten Trick viel schneller. Dieser Aufgabentyp wurde im Forum schon mindestens tausendmal behandelt.

14.11.2010, 18:13

Heinzelmann

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Ja.

Zitat:

... Untersuchen sie $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit dem Sandwich Lemma auf Konvergenz.

Aber vielleicht hilft mir der (Umformungs?)trick ja dabei, a_n und c_n zu finden.

14.11.2010, 19:14

Heinzelmann

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Also ich habe jetzt nen Ansatz...
Ersmal forme ich um: $\begin{eqnarray*} b_n=\sqrt{n²+4n+6}-n=\sqrt{(n+2)^2+2}-n \end{eqnarray*}$
Und wähle $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{(n+2)^2}-n \end{eqnarray*}$ (ist kleiner als $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ für alle n aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} c_n=\sqrt{(n+3)^2}-(n+1) \end{eqnarray*}$ (ist größer als $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ für alle n aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$
Muss ich jetzt noch zeigen (Induktion), dass die größer/kleiner-Relationen gelten? Oder "sieht" man das?
Der Grenzwert ist dann jedenfalls leicht zu bestimmen, nämlich 2 für alle 3 Folgen.

/edith sagt: quatsch

14.11.2010, 22:50

Heinzelmann

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Aufgabe gelöst, $\begin{eqnarray*} c_n=\sqrt{(n+2)^2+2+\frac{1}{(n+2)^2}}-n=\sqrt{((n+2)+\frac{1}{n+2})^2}-n=2+\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

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