Homo-, Iso- bzw. Automorphie einer Abbildung zeigen

14.11.2010, 17:58

mrmiraculix

Homo-, Iso- bzw. Automorphie einer Abbildung zeigen

Meine Frage:
Gegeben ist die Abbildung f mit $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb R^{2}, +) \mapsto (\mathbb R^{2}, +), f(x, y) = (y, y) \end{eqnarray*}$ . Ich soll bestimmen, ob die Abbildung ein Homo-, Iso- bzw. Automorphismus ist. Mir ist aber die Schreibweise nicht klar.

Meine Ideen:
Den Homomorphismus würde ich jetzt z.B. so beweisen:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) \stackrel{?}{=} f(x_{1}, x_{2}) + f(y_{1}, y_{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) = (x_{2} + y_{2}, x_{2} + y_{2}) = 2x_{2} + 2y_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_{1}, x_{2}) + f(y_{1}, y_{2}) = (x_{2}, x_{2}) + (y_{2}, y_{2}) = x_{2} + y_{2} + x_{2} + y_{2} = 2x_{2} + 2y_{2} \end{eqnarray*}$

Wäre das korrekt?

14.11.2010, 18:03

AconcaguaK2

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so hab ich das auch gemacht, sag mal hast du bei der d) rausgefunden ob das injektiv ist?!

14.11.2010, 18:04

kiste

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Das ist falsch. Warum sollte (x,y) = x+y sein? Das eine ist ein Tupel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , das andere eine Zahl in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 18:08

mrmiraculix

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Zitat:

Original von AconcaguaK2
so hab ich das auch gemacht, sag mal hast du bei der d) rausgefunden ob das injektiv ist?!

Da bin ich noch nicht, wie gesagt, es hapert an der Schreibweise...

Zitat:

Original von kiste
Das ist falsch. Warum sollte (x,y) = x+y sein? Das eine ist ein Tupel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , das andere eine Zahl in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wie macht man das dann? Sorry, das ist alles neu für mich.

14.11.2010, 18:12

kiste

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Das Tupel lässt du so stehen, das ist praktisch dein Endergebnis. Zwei Tupel (x,y) und (w,z) addierst du komponentenweise, also ergibt die Addition (x+w,y+z)

14.11.2010, 18:14

mrmiraculix

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Zitat:

Das ist möglicherweise erlaubt. In der Aufgabe steht auch noch, dass die Addition auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ komponentenweise definiert ist.

14.11.2010, 18:17

mrmiraculix

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Zitat:

Original von kiste
Das Tupel lässt du so stehen, das ist praktisch dein Endergebnis. Zwei Tupel (x,y) und (w,z) addierst du komponentenweise, also ergibt die Addition (x+w,y+z)

Kannst du vlt. meinen (falschen) "Beweis" umschreiben, so dass das stimmt? Dann verstehe ich besser, was du meinst.

14.11.2010, 18:18

kiste

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Ach was. Das schaffst du auch selbst. Du musst doch nur die falsche letzte Gleichheit wegstreichen und dann meinen letzten Tipp benutzen.

14.11.2010, 18:23

mrmiraculix

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Zitat:

Original von kiste
Ach was. Das schaffst du auch selbst. Du musst doch nur die falsche letzte Gleichheit wegstreichen und dann meinen letzten Tipp benutzen.

$\begin{eqnarray*} f(x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}) = (x_{2} + y_{2}, x_{2} + y_{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_{1}, x_{2}) + f(y_{1}, y_{2}) = (x_{2}, x_{2}) + (y_{2}, y_{2}) = (x_{2} + y_{2}, x_{2} + y_{2}) \end{eqnarray*}$

So?

14.11.2010, 18:25

AconcaguaK2

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ach ne ich seh grad, hab das doch net so, sondern so:

$\begin{eqnarray*} f((x_{1},y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = (y_{1} + y_{2}, y_{1} + y_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_{1},1_{1}) + f(x_{2}, y_{2}) = (y_{1}, y_{1}) + (y_{1}, y_{2}) \end{eqnarray*}$

Und die zwei sind gleich.

Stimmts so?müsste eigentlich

14.11.2010, 18:28

kiste

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Das von unserem Druiden ist richtig.
AconcaguaK2 hat ein paar Indexfehler etc. gemacht(vllt. beim TeXen?)

14.11.2010, 18:38

AconcaguaK2

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Ja mit latex komm ich noch net so gut zu recht :>
So müssts jetzt aber eigentlich stimmen:
$\begin{eqnarray*} f((x_{1},y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = f(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (y_{1} + y_{2}, y_{1} + y_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_{1},y_{1}) + f(x_{2}, y_{2}) = (y_{1}, y_{1}) + (y_{2}, y_{2}) = (y_{1} + y_{2}, y_{1} + y_{2}) \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 18:39

kiste

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Ja jetzt stimmt es.

14.11.2010, 20:55

mrmiraculix

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$\begin{eqnarray*} Kern(f) = \left\{(x, 0) : x \in \mathbb R\right\} \neq \left\{(0, 0)\right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das auch?

14.11.2010, 21:24

kiste

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Stimmt