Teilbarkeit durch 11

14.11.2010, 18:18	Tost1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit durch 11 Meine Frage: Hallo an Alle, haben mal wieder eine Aufgabe gestellt bekommen, bei der ich keinen konkreten Ansatz für den Beweis finde: Sei $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=\sum\limits_{i=0}^m a_i\cdot 10^i, m\in\mathbb N ,a_i\in \left\{0,1,2,...,9 \right\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq i\leq m \end{eqnarray}$ , die übliche Darstellung einer natürlichen Zahl im Dezimalsystem. Zeigen Sie, dass folgende Teilbarkeitsregel gilt: 11 ist genau dann ein Teiler von n, wenn 11 ein Teiler der alternierenden Quersumme $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^m (-1)^i\cdot a_i \end{eqnarray}$ von n ist. Meine Ideen: Habe mir das ganze erstmal an einem Beispiel veranschaulicht: $\begin{eqnarray} n= 6509173 \end{eqnarray}$ ist durch 11 teilbar (=591743). Für die alternierende Quersumme ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^7 (-1)^i\cdot a_i = (-1)^66+(-1)^55+(-1)^40+(-1)^39+(-1)^21+(-1)^17+(-1)^03= 6 -5+0-9+1-7+3=-11 \end{eqnarray}$ Die alternierende Quersumme ist also auch ein Teiler von 11. Habe das ganze auch für andere Zahlen in einer kleinen Excel-Datei getestet. Ich bekam für die Quersumme immer entweder 0, 11 oder (-11) heraus. Das scheint also zu passen - nur das jetzt beweisen. Ich habe jetzt mal angenommen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \frac{\sum\limits_{i=0}^m a_i\cdot 10^i}{11}=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{ \sum\limits_{i=0}^m (-1)^i\cdot a_i}{11}=y \end{eqnarray}$ . Jetzt muss ich doch theoretisch nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ? Also: $\begin{eqnarray} \frac{ \sum\limits_{i=0}^m (-1)^i\cdot a_i}{11}=y,y\in \mathbb N \Rightarrow \frac{\sum\limits_{i=0}^m a_i\cdot 10^i}{11}=x,x\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Ist das der richtige Ansatz oder geht das in eine vollkommen flasche Richtung? Wenn ja, wie zeige ich das dann? Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe! Grüße Tobias
14.11.2010, 18:20	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du Rechenregeln für modulo? Oder kennst du den Restklassenring $\begin{eqnarray} \mathbb Z/11\mathbb Z \end{eqnarray}$ ? Falls nicht, benutze $\begin{eqnarray} 10^i = (11-1)^i \end{eqnarray}$ und den binomischen Lehrsatz.
14.11.2010, 18:31	Tost1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kiste, Restklassen und Modulo waren Thema der letzten Vorlesungswoche. Vielleicht ein Tipp, wie ich hier den Bezug herstellen kann? Überlege grad noch zu einer Lösung mit dem binomischen Lehrsatz. Gruß Tobias
14.11.2010, 18:37	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
10 = -1 in Z/11Z bzw. 10 = -1 mod 11.
14.11.2010, 19:04	Tost1989	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kiste, dann versuche ich mal deine Idee auszuformulieren: Definiere: $\begin{eqnarray} f:\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z_{11}, x \mapsto x \end{eqnarray}$ Mit deinem Hinweis gilt dann: $\begin{eqnarray} f(10) = f(-1) \end{eqnarray}$ . Sei also nun: $\begin{eqnarray} n=\sum\limits_{i=0}^m a_i\cdot 10^i \end{eqnarray}$ und die alternierende Quersumme wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} q:=\sum\limits_{i=0}^m (-1)\cdot a_i \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} f(n)= f(\sum\limits_{i=0}^m a_i\cdot 10^i)=\sum\limits_{i=0}^m f(a_i)\cdot f(10)^i=\sum\limits_{i=0}^m f(a_i)\cdot f(-1)^i=f(\sum\limits_{i=0}^m a_i\cdot (-1)^i)=f(q) \end{eqnarray}$ Also ist f(n) = 0 gdw. f(q) = 0, womit die Aussage bewiesen wäre. Stimmt das so? Gruß Tobias
14.11.2010, 19:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so Das mit dem Binomialsatz wäre ein elementarer, aber schwerer zu verstehender Beweis gewesen: $\begin{eqnarray} 10^i = \sum_{k=0}^i {i \choose k}11^{n-k}(-1)^k \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^m a_i 10^i = \sum_{i=0}^m a_i\sum_{k=0}^i {i \choose k}11^{n-k}(-1)^k = \text{Zeug was durch 11 teilbar ist} + \sum_{i=0}^m a_i \cdot (-1)^i \end{eqnarray}$
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