Beweis einer Ellipse

14.11.2010, 19:12	h3nk13	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Ellipse Meine Frage: Ich soll Beweisen, dass es sich hierbei um eine Ellipse handelt: $\begin{eqnarray} \frac{L^{2} }{mEr^{2} }= 1+ \sqrt{1-\frac{w^{2}L^{2} }{E^{2} } }cos(2(\phi- \phi0) \end{eqnarray}$ als Tip war noch gegeben: $\begin{eqnarray} \cos(2x)= \cos^{2} (x)-\sin^{2}(x) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich hab den ausdruck nach 1/r umgestellt und musste dabei die Wurzel ziehen, deswegen ist bei mir nichts vernünftiges rausgekommen. Außerdem ist es mit nicht gelungen mit dem Tip zu arbeiten. Ich dachte ich muss dass dann nach 1-sin^2 umstellen damit ich dann zweimal cosinus habe und keinen sinus mehr. Ich weiss auch nicht genau was jezt was aus meinem Ausdruck ist, weil nach umstellen jeglicht ähnlichkeit fehl, in der Formel: $\begin{eqnarray} \frac{1}{r}=\frac{1}{p}(1+\epsilon cos(\phi-\phi0) \end{eqnarray}$ Wäre für nen Tip sehr dankbar MfG h3nk13
15.11.2010, 19:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir angestrebte Polarform der Ellipse gilt für Ellipsen, deren Brennpunkt im Ursprung liegt. Die hier vorliegende Polarform erzeugt aber eine Ellipse, die im Ursprung ihren Mittelpunkt besitzt. Sie ist also in kartesischen Koordinaten von der Form $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray}$ Man sieht das, wenn man sich die Parameter $\begin{eqnarray} L,m,E,\omega \end{eqnarray}$ passend vorgibt und sich die Kurve von einem CAS zeichnen läßt. Wenn du die gegebene Polarform nach $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ auflöst, bekommst du mit $\begin{eqnarray} \psi = \varphi - \varphi_0 \end{eqnarray}$ als Abkürzung $\begin{eqnarray} r^2 = \frac{L^2}{m \left( E + \sqrt{E^2 - L^2 \omega^2} \cdot \cos \left( 2 \psi \right) \right)} \end{eqnarray}$ Die Parameter $\begin{eqnarray} L,m,E,\omega \end{eqnarray}$ sind als positiv anzunehmen, und natürlich wird auch $\begin{eqnarray} E > L \omega \end{eqnarray}$ vorausgesetzt, damit der Radikand positiv ist. Einmal unterstellt, die von mir anfangs gemachte Behauptung stimmt, dann bekommst du die Halbachse $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \psi = 0 \end{eqnarray}$ und die Halbachse $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \psi = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Das gibt die Werte $\begin{eqnarray} a^2 = \frac{L^2}{m \left( E + \sqrt{E^2 - L^2 \omega^2} \right)} \, , \ \ b^2 = \frac{L^2}{m \left( E - \sqrt{E^2 - L^2 \omega^2} \right)} \end{eqnarray}$ Betrachtet man sich die Nenner, so ist der zweite kleiner als der erste, somit gilt hier $\begin{eqnarray} b > a \end{eqnarray}$ , die Hauptachse der Ellipse wird also im Unterschied zum Gewohnten auf der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse liegen, und die Brennweite wird $\begin{eqnarray} e = \sqrt{b^2 - a^2} \end{eqnarray}$ sein. Aber so weit sind wir noch nicht. Denn die Ellipsengleichung vom Anfang ist ja noch nicht nachgewiesen. Immerhin weiß man, daß die hier berechneten $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ die einzige Chance bieten, sie zu beweisen. Jetzt mach die an die Arbeit. Gehe zunächst zu kartesischen Koordinaten über: $\begin{eqnarray} x = r \cos \psi \, , \ \ y = r \sin \psi \end{eqnarray}$ Quadriere diese Gleichungen und setze $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ von oben ein. Der Term $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \end{eqnarray}$ mit den oben bestimmten $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ sollte sich dann zu $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ vereinfachen lassen, d.h. $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ muß aus der Rechnung herausfallen. Da wird dann die Beziehung $\begin{eqnarray} \cos^2 \psi - \sin^2 \psi = cos \left( 2 \psi \right) \end{eqnarray}$ hilfreich sein.
17.11.2010, 11:29	h3nk13	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe Leopold, jetzt hab ichs verstanden

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