Matrix einer linearen Abbildung

14.11.2010, 19:12

Johnny Johnson

Matrix einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Hallo!

Im Rahmen eines Tutoriums muss ich zwei Fragen beantworten, bei denen ich bereits Ergebnisse habe, ihnen aber nicht vertraue und das böse Gefühl habe, irgendwas Wichtiges übersehen zu haben.

Die Aufgaben lauten:

Bestimmen Sie die Dimension der linearen Hüulle der Vektoren
u = (1;-2; 5;-3); v = (2; 3; 1;-4);w = (3; 8;-3;-5)
im R4. Vervollständigen Sie eine Basis der Hülle zu einer Basis von R4.

und:

Gegeben Sei die lineare Abbildung f : $\begin{eqnarray*} \mathbb R² \Rightarrow \mathbb R² \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} \! f(\alpha ,\beta ,\gamma )=(2\alpha - \gamma, \alpha \beta -2\gamma ). \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die zu f gehörige Matrix bezüglich der Basen
f(5; 2;-7); (3; 2; 0); (1;-1; 3)g und f(1; 2); (2; 1)

Meine Ideen:
Also besonders die erste Aufgabe überrascht mich. Vorweg: Wir haben leider die nötigsten Mittel, die man bei solchen Berechnungen braucht, noch gar nicht gelernt. Zum Beispiel die Rangbestimmung einer Matrix nach Gauss kenne ich noch gar nicht (habe trotzdem versucht, sie anzuwenden) und beim bestimmen von Linearkombinationen benutzen wir immer nur die ganz simplen Methoden (x*A + y*B und gucken, ob man den einen Vektor durch andere darstellen kann).

Nun, soweit ich kam, sind die 3 Vektoren zueinander linear unabhängig. Zumindest hab ich mit meinen "Laienmethoden" keine Methode gefunden, wie ich einen von ihnen als Kombination Anderer darstellen könnte.. Damit wäre der Rang der lin. Hülle doch automatisch 4?
Als nächstes sollte ich ja die Basen um einen weiteren Vektor ergänzen, damit man ganz R4 damit aufspannen kann. Zuerst wollte ich (0,0,0,1) nehmen, sah dann aber, dass der sogar lin. abhängig wär. Habe dann also (1,1,1,1) genommen, aber auch hier fehlen uns bisher die Rechenmethoden, um zu beweisen, dass ein Vektor tatsächlich lin. unabhängig ist..

Reicht das in euren Augen als Antwort?

Zur zweiten Aufgabe:

Nun, auch hier musste ich erst selbst herausfinden, wie man sowas überhaupt macht, weil es erst in der nächsten Vorlesung wohl vorgestellt wird, aber so wie ich es verstand, setzte man erstmal einfach die Koordinaten in die Funktion ein und bekam so 3 neue Vektoren für R2. In diesem Fall:

f1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 21 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , f2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und f3= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollten diese "Ergebnisvektoren" aber doch lin. abhängig von den gegebenen Basisvektoren (2,1) und (1,2) sein. Irgendwie sehe ich aber die lin. Abhängigkeit nicht.. In der Anleitung zur Darstellung von Abbildungsmatrizen stand auch "sollten nicht die Standardbasenvektoren benutzt werden, müssen die Bilder als Linearkombination dargestellt werden". Aber eben diese Linearkombination macht mir ja das Leben schwer, weil ich gar nicht sehe, wie oft ich die zwei Basenvektoren multiplizieren und addieren muss, um die Bilder darzustellen...

Tschuldigung, dass der Beitrag so groß geworden ist. Bitte denkt nicht, dass ich hier nur die Antworten absahnen möchte, es reicht völlig, wenn ihr Denkanstöße gebt. Ich will ja lernen, wie es geht, aber zur Zeit misstraue ich meinen Ergebnissen enorm.

Danke im Vorraus

14.11.2010, 19:15

tigerbine

Matrix einer linearen Abbildung

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