Inverse zur nicht quadratischen Matrix A

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14.11.2010, 19:59	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse zur nicht quadratischen Matrix A $\begin{eqnarray} A\in K^{2x3} und B\in K^{3x2} \end{eqnarray}$ Kann B eine inverse Matrix zu A werden, sodass bei kommutativer Vertauschung Immer Einheitsmatrizen herauskommen? Also gibt es eine inverse Matrix B zu Matrix A, sodass $\begin{eqnarray} 1)AB=E2<br /> 2)BA=E3 \end{eqnarray}$ ? Ich finde wohl inverse B, die 1) erfüllen, doch erfüllen diese nicht 2). Ich habe aber keine Begrüdnung, warum es gar kein B geben soll, das 1) und 2) erfüllen kann. Bitte um Verständnishilfe!
14.11.2010, 20:01	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
B bildet von K^3 nach K^2 ab. Welche Dimension kann dann der Kern von B haben? Kannst du dann ein A finden mit BA = E3?
14.11.2010, 20:05	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, ich weiß nicht was du mit Dimension und Kern meinst.
14.11.2010, 20:50	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hattet ihr dann bereits? Weißt du dass jede Matrix eine Abbildung induziert?
14.11.2010, 21:10	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube das hatten wir noch nicht. Matrizenrechnung, Elementarmatrizen, Transponiert, Normalform Inverse Matrizen sind bis jetzt nur quadratisch gewesen, Vektoren auch noch nicht
14.11.2010, 21:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter den Voraussetzungen fällt mir keine einfache Lösung ein. Vllt. weiß ja jmd. anderes noch etwas.
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14.11.2010, 21:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne es jetzt komplett durchgerechnet zu haben (kann also sein, dass im weiteren Verlauf Probleme auftreten): $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & c_3 \end{pmatrix},~B:=\begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ d_1 & d_2 \\ e_1 & e_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ergibt $\begin{eqnarray} A\cdot B = I_2,~B\cdot A = I_3 \end{eqnarray}$ ein (hässliches) Gleichungssystem.
14.11.2010, 22:12	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider komme ich nicht weiter weiter mit diesem Ansatz, ich bekomme dann nur zwei komlizierte Matrizen für E2 und E3 in Abhängigkeit von den Komponenten aus A und B, mit denen ich erstmal nicht weiter weiß.
14.11.2010, 22:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt ja aber, welchen Wert der komplizierte Ausdruck annehmen muss, jenachdem an welcher Stelle er steht. Für den ersten Eintrag von $\begin{eqnarray} A\cdot B \end{eqnarray}$ erhältst du z.B. $\begin{eqnarray} a_1c_1+a_2d_1+a_3e_1=1 \end{eqnarray}$ , da an der Stelle eine 1 in der Einheitsmatrix steht, für den zweiten Eintrag... Dass das Gleichungssystem nicht schön wird, hab ich von vornherein gesagt, aber ein anderer Weg würde mir mit euren Voraussetzungen auch nicht einfallen.
14.11.2010, 22:22	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, ja ich verstehe, ich muss das dann nach den einzelnen Komponenten von B auflösen. Das hatte ich mir auch erst so gedacht, ich dachte aber, dass das nicht geht, weil ich dann durch komponenten von A teilen muss und nirgendwo in den Voraussetzungen steht, dass die Komponenten aus A nicht = 0 sein dürfen. Aber ich kanns ja erstmal durchrechnen.
14.11.2010, 23:10	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
vllt habe ich mich verrechnet, aber die lösungen für B sind keine Inversen zu A
15.11.2010, 21:18	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was ist denn die Begründung dafür, dass es kein B zu A gibt, sodass AB=E2 und BA=E3?

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