Parametrisierte Kurve [Geometrie]

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Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierte Kurve [Geometrie]
Guten Abend allerseits!

Gegeben sei die parametrisierte Kurve

Was muss man machen, um zu zeigen, dass c die Periode 2*Pi hat?
(Klar, man kann einfach 2*Pi "einsetzen", also zB: (1+2*cos(2*Pi*t))*cos(2*Pi*t) und schauen, ob das dann wieder (1+2cos(t))cos(t) ergibt - ist das korrekt so? )

Und: Was muss man machen, um zu zeigen, dass c nicht einfach geschlossen ist?
(also: Was heisst "einfach geschlossen"?)

Und (sorry, gleich drei Fragen..): Wie findet man die Umlaufzahl von c heraus?

Liebe Grüsse und entschuldigt bitte die vielen Fragen..
Thomi
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was muss man machen, um zu zeigen, dass c die Periode 2*Pi hat?


cos und sin haben diese Periode, also auch c.


Zitat:
Und: Was muss man machen, um zu zeigen, dass c nicht einfach geschlossen ist?


Eine geschlossene Kurve heißt einfach geschlossen, wenn sie eine periodische reguläre Parametrisierung c mit Periode L besitzt, so dass injektiv ist.


Zitat:
Wie findet man die Umlaufzahl von c heraus?


Man kann die Funktionentheorie bemühen, oder die algebraische Topologie (covering spaces, path liftings).
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten!


Zum mittleren Punkt:
Ist es hier o.k., wenn ich argumentiert habe, dass cos und sin eine um Pi/2 verschobene Periodizität haben und c daher nicht injektiv ist? (das mit der Injektivität habe ich schon noch genauer gezeigt, ich möchte einfach sicher gehen, dass die Grundidee mit der Periodenverschiebung stimmt...)


Der letzte Punkt ist mir noch nicht ganz klar:
Ich habe die (hoffentlich richtige) Formel mit 1 über 2Pi + blabla.. gefunden
Allerdings happerts bei der Anwednung.
Also ich schicke mal vorweg: Ich denke, die Umlaufzahl ist 2, weil ich einen Plot angefertigt habe..
Aber eben, jetzt zur Formel:
Ich rechne 1 über 2*Pi multipliziert mit dem Intergral von 0 bis 2Pi von der c'(t) über c(t). Ist das nicht korrekt?
Also ausgeschrieben wäre das:
[attach]16644[/attach]

(sorry, es sollte alles auf einer Zeile sein...)
Nun - Wolfram hat leider aufgegeben, das Integral zu berechnen, daher bin ich etwas stutzig geworden, ob das, was ich hier mache, wirklich stimmt :S
..weil wenn wirklich 2 resultieren sollte und mein Integral stimmt, dann denke ich, hätte mir das Wolfram schon angezeigt..aber eben..
Ich wäre froh, wenn du mir sagen könntest, wo der Fehler liegt - danke! smile

Vielen Dank und Gruss,
Thomi
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde muss man bei der Periodizität vor allem zeigen, dass es keine kleinere Periode gibt! Ansonsten kann man über den zweiten Punkt nichts aussagen!
ist auf keineswegs injektiv aber einfach geschlossen!

Hat die nicht-Injektivität wirklich etwas mit der "Periodenverschiebung" zu tun? Ich würde eher sagen, dass das daran liegt, dass auf einmal zu häufig gleich ist. Aber hier ist wichtig, dass die kleinste Periode ist.

Du wirst die Umlaufzahl vermutlich nicht direkt ausrechnen können. Das können nur Physiker. Es kann also gut sein, dass die Formel stimmt. Was kommt denn numerisch bei dem Integral heraus?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

.
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antworten!

Zu deiner Frage: Wolfram berechnet das Integral nicht, sondern hört vorher auf (zu lange Berechnungen..).
Auch matlab wollte nicht richtig, also weiss ich nicht, was beim Integral raus kommt...
Wäre eine Alternative, das Ganze umzuparametrisieren, um dann mit einer "einfacheren" Formel die Umlaufzahl herauszufinden?
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Relativ zu welchem Punkt willst du denn überhaupt die Windungszahl wissen?
Man kann das Problem nämlich prinzipiell lösen ohne überhaupt jemals von Integralen gehört zu haben.

Wenn du's ganz allgemein haben willst (Windungszahl für jeden Punkt, der nicht im Bild liegt), wird's eklig...
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Windungszahl einer Kurve hat von der Definition her zunächst einmal nichts mit dem topologischen Begriff des Index bzw. der Umlaufzahl zu tun, sondern ist das Integral über die Krümmung, wobei über die Weglänge parametrisiert werden muss. Von daher ist die Aufgabe schon richtig gestellt, ohne das ein Punkt angegeben wurde.

Ich glaube allerdings nicht, dass es Zufall ist, dass in diesem Beispiel beide Begriffe relativ bestimmter Punkte übereinstimmen. Aber das weiß ich nicht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Windungszahl einer Kurve hat von der Definition her zunächst einmal nichts mit dem topologischen Begriff des Index bzw. der Umlaufzahl zu tun, sondern ist das Integral über die Krümmung


Das stimmt genau dann, wenn man es zunächst so definiert... Rein historisch gesehen, würde ich mal sagen, dass es nicht stimmt. Aber ist ja auch egal! Ich denke, dass Thomas mit der von dir vertretenen Definition rumhantiert.
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also sofern ich die Definition der Umlaufzahl richtig verstanden habe, könnte ich sie wirklich auch ohne eine einzige Rechnung bestimmen: Sie ist (meiner Meinung nach) nämlich 2.

Aber:
Ich nehme schon an, dass man das berechnen und nicht einfach "sehen", "erkennen" und "die Lösung aufschreiben" soll :P

..doch mit der Berechnung bin ich immernoch nicht so sicher..
..also stimmt meine gepostete Rechnung nicht?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thomas00
..doch mit der Berechnung bin ich immernoch nicht so sicher..
..also stimmt meine gepostete Rechnung nicht?


1. Was ist denn die Definition der Umlaufszahl?
2. Was soll da in dem Integral stehen? Da müssen doch irgendwie Normen drum, oder stehen die da?
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »

1.,2. haben sich beide erledigt, vielen Dank!

Ja, ich hatte natürlich die Normen unterschlagen, daher ist es auch kein Wunder, kam ich auf kein anständiges Resultat. smile
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