Kurve vs. Gerade |
| 15.11.2010, 00:12 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kurve vs. Gerade Wenn c: I-->IR^3 eine parametrisierte Kurve mit einer Krümmung K=0 ist, so folgt ja, dass die Spur von c in einer Geraden enthalten ist. Kann ich da "einfach" wie folgt argumentieren?: K=0 --> ||c''(t)|| = 0 --> c''(t) = 0 , daher kann die Spur von c nicht in einer Kurve liegen, sondern auf einer Geraden mit der Steigung c'(t). |
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| 15.11.2010, 16:16 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tatsächlich sind Kurven mit verschwindender Krümmung stets Geraden. Die Größe c' ist dann der Einheitsvektor, der in Richtung dieser Geraden zeigt. Ich würde den Vektor c' aber nicht "Anstieg" nennen, weil man unter einem Anstige eine Zahl versteht - nämlich die Zahl m in der ebenen Geradengleichung y=mx+n. |
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| 15.11.2010, 22:35 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okey. Aber die genannten zwei Zeilen - mit deiner Verbesserung natürlich - können durchaus als Beweis durchgehen, oder? |
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| 16.11.2010, 09:10 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, man kann so argumentieren. Beachte aber, dass eine Gerade ein Spezialfall einer Kurve ist. Bei deiner Argumentation hört sich das so an, als ob eine Gerade keine Kurve sei. Man kann die Krümmung einer Kurve wie folgt interpretieren: Betrachte ein Flugzeug, das mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag eine beliebig gekrümmte Flugbahn fliegt. Aus der Phsik ist bekannt: Die 1.Ableitung ist die momentane Geschwindigkeit, wobei sich deren Richtung aufgrund der gekrümmten Flugbahn ständig ändern kann, aber nicht der Betrag, denn laut Vorraussetzung hat dieser den Wert 1. Die 2.Ableitung ist die Beschleunigung. Laut Newton ist das Produkt "Masse mal Beschleunigung" gerade die Kraft. Weil die Masse konstant ist, ist die 2.Ableitung also ein Maß dafür, welche Fliehkräfte während des Fluges auf die Passagiere wirken (infolge der gekrümmten Flugbahn). Der Betrag der Beschelunigung ist also ein Maß für den Betrag dieser Fliekräfte (bis auf einen unwesentlichen Faktor). Anschaulich ist klar: Wenn das Flugzeug immer geradeaus flöge (auf einer Geraden), würden keine Fliehkräfte auf die Passagiere wirken. Dann hätten sie den Eindruck, das Flufzeug stünde ruhig am Boden. Das ist der Beweis: Wenn die 2.Ableitung der Flugbahn verschwindet (Krümmung=0), fliegt das Flugzeug entweder auf einer Geraden oder es steht am Boden (=Trägheitsgesetz). |
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