Beweise!

15.11.2010, 10:44

Knüffi

Beweise!

Meine Frage:
Könnt ihr mir bitte mit dem Beweis folgender Ungleichung helfen?! Ich habe die letzte Aufgabe total vergessen und habe jetzt ein absolutes Zeitproblem, deshalb bitte ich euch um eure Hilfe!

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a}+ \sqrt{b} }{2} \leq \sqrt{\frac{a+ b}{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Muss man da die vollständige Induktion anwenden? Könnte man es evtl. auc einfach durch Umformen beweisen? Umformung habe ich bereits probiert...erst quadiert und dann auseinandergezogen...aber leider ohne Erfolg!

Bitte um weiterhilfe!!!

15.11.2010, 10:58

klarsoweit

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RE: Beweise!
Quadriere die Ungleichung und sortiere alles auf die rechte Seite.

15.11.2010, 11:06

wisili

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RE: Beweise!

Zitat:

Original von Knüffi
... probiert...erst quadiert und dann auseinandergezogen...

Das führt direkt auf die bekannte Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel.

15.11.2010, 11:16

Knüffi

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Beweise!
$\begin{eqnarray*} (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} }{2} )^{2} \leq \frac{a+ b}{2} \end{eqnarray*}$ (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} }{2} )^{2} \leq \frac{a+ b}{2}

$\begin{eqnarray*} \frac{a+ b}{4} \leq \frac{a+ b}{2} \end{eqnarray*}$

Korrekt? Aber das wäre doch viel zu einfach?!
Ich hab echt Probleme mit beweisen, wie begründe ich das jetzt korrekt?

15.11.2010, 11:17

wisili

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RE: Beweise!
Binomische Formel korrekt anwenden!

15.11.2010, 11:30

Knüffi

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Beweise!
D.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{a+ 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b}{4} \end{eqnarray*}$

ABer wie mach ich dann weiter...oh gott, ich stell mich an...ist echt schon peinlich!!!

15.11.2010, 11:32

wisili

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RE: Beweise!
Schreibe die Ungleichung auf, isoliere das Wurzelprodukt.

15.11.2010, 14:42

Knüffi

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Beweise!
Ok danke, und wie isoliert man ein wurzelprodukt?

15.11.2010, 15:04

wisili

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RE: Beweise!
$\begin{eqnarray*} \frac{a+ 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b}{4} \leq \frac{a+ b}{2} \end{eqnarray*}$

* 4

$\begin{eqnarray*} a+ 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \leq 2a + 2b \end{eqnarray*}$

- a - b

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{a}\sqrt{b} \leq a + b \end{eqnarray*}$

: 2

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} \end{eqnarray*}$ Geometrisches Mittel von a und b ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel von a und b.

(Beweis hiefür, wie klarsoweit rät:
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{a}\sqrt{b} \leq a + b \Leftrightarrow 0 \leq a -2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \Leftrightarrow 0 \leq (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \end{eqnarray*}$
)

15.11.2010, 15:05

klarsoweit

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RE: Beweise!
Ich weiß jetzt nicht, was wisili meinte, es gilt aber immer noch:

Zitat:

Original von klarsoweit
... und sortiere alles auf die rechte Seite.

EDIT: OK, jetzt weiß ich es.

15.11.2010, 15:34

Knüffi

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Beweis!
Und damit wäre der Beweis abgeschlossen? Kann des doch nicht einfach so stehen lassen, oder?

15.11.2010, 15:36

wisili

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RE: Beweis!
Was ist dein Unbehagen?

15.11.2010, 15:37

klarsoweit

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RE: Beweise!

Zitat:

Original von wisili
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{a}\sqrt{b} \leq a + b \end{eqnarray*}$

Schreibe an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \leq a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \end{eqnarray*}$ und wende die 2. binomische Formel an.

15.11.2010, 16:05

Knüffi

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Beweis
Naja es kommt mir grad so leicht vor... Wär zwar allein nicht drauf gekommen! Nur deshalb hab ich gefragt ob des so alles ist! Vielen dank für eure Hilfe!

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Beweise!

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