Beweis, dass Dichtefunktion eine Dichte definiert.

15.11.2010, 14:44	abakus7	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Dichtefunktion eine Dichte definiert. Meine Frage: Hallo! Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem, und zwar soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} f_{X}(x)=\begin{cases}0,x\leq 0\\\frac{(x+1)}{\lambda(\lambda+1)}e^{-\frac{x}{\lambda}},x>0\end{cases} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ eine Dichte definiert. Wo kann man ansetzten, um zu beweisen, dass eine Dichtefunktion eine Dichte definiert? Meine Ideen: Man kann den Beweis wahrscheinlich über die Eigenschaften der Dichtefunktion( $\begin{eqnarray} f(x)\geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) \, dx =1 \end{eqnarray}$ ) antreten. Ich weiß aber nicht genau wie, kann jemand ein kleinen Anstoß geben?
15.11.2010, 15:06	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich steht es bei dir da, du musst es nur befolgen: Als erstes also mal das (unbestimmte) Integral zu $\begin{eqnarray} x\mapsto\frac{(x+1)}{\lambda(\lambda+1)} e^{-\frac{x}{\lambda}} \end{eqnarray}$ ausrechnen!
15.11.2010, 15:16	abakus7	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{(x+1)}{\lambda(\lambda+1)} e^{-\frac{x}{\lambda}} \, dx \end{eqnarray}$ wäre dann nach partieller Integration $\begin{eqnarray} \frac{-(x+\lambda+1)e^{\frac{-x}{\lambda}}}{(\lambda+1)}+c \end{eqnarray*}$ . Noch sehe ich die Lösung nicht, wie geht es jetzt weiter?
15.11.2010, 15:20	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Weshalb so unselbständig? Nun kannst du doch überprüfen, ob die Bedingung $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ~ \dd x =1 \end{eqnarray}$ zutrifft oder nicht. Da die Dichte abschnittsweise definiert ist, berechnest du dieses bestimmte Integral zweckmäßigerweise natürlich auch über die zugehörigen Abschnitte, d.h. also gemäß der Intervallzerlegung $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 f(x) ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^{\infty} f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ .
15.11.2010, 15:21	abakus7	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, ist damit der Beweis schon erledigt? Denn wenn ich für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ etwas >0 in die integrierte Dichtefunktion einsetze, dann ist die ja eigentlich überall definiert. Kann man so argumentieren, oder fehlt da noch was?
15.11.2010, 15:44	abakus7	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für den ersten Abschnitt gilt dann ja folgendes $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^0 f(x) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray}$ . Soweit, so gut. Das zweite Teilintegral ( $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ ) ist dann aber ein uneigentliches Integral. Ich setze den oberen Grenzwert (unendlich) also t und lasse t gegen unendlich laufen: $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty} \left( \frac{-(t+\lambda+1)e^{\frac{-t}{\lambda}}}{(\lambda+1)}+1 \right) \end{eqnarray}$ (hier also obere u. untere Grenze bereits eingesetzt), wenn ich hier aber den Grenzwert bilde kommt $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray*}$ raus, also existiert das Integral nicht?
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15.11.2010, 16:35	abakus7	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hat Klick gemacht [latex]e^{\frac{-\infty}{\lambda}} ist natürlich 0. Wenn man dann die Regel von l'Hospital anwendet kommt 1 raus und damit ist bewiesen, dass die Dichtefunktion auch eine Dichte definiert.
15.11.2010, 16:48	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsstest grundsätzlich auch noch zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f_X(x)\geq 0 \end{eqnarray}$ , aber das ist hier trivial. LG Max

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