Anzahl linear unabhängige Lösungen für A*x=0 |
15.11.2010, 18:00 | mika_r1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anzahl linear unabhängige Lösungen für A*x=0 Hallo, ich habe folgende wunderschöne Aufgabe gestellt bekommen: Sei eine 1 x n-Matrix mit Koeffizienten in dem Körper . Zeige: Das homogene Gleichungssystem A*x = 0 hat (n-1) linear unabhängige Lösungen in . Meine Ideen: Ich habe wohl noch ein Problem bei dem Verständnis mit der linearen Unabhängigkeit. Ich habe das ganze mal mit simplen Beispielen in und durchgespielt. Für : A: ( 1, 2 ) x: ( -2, 1) Alle Änderen Lösungen für A*x = 0 sind skalare Vielfache von x also sind linear abhängig. Also haben wir n-1 linear unabhängige Lösungen nämlich genau eine. Bei komme ich schon nicht mehr klar: A: (1 2 3) x1: (1 1 -1), x2: (2 -1 0), x3: (3 0 -1), x4: (0 3 -2) Das sind bei mir 4 Lösungen. Und linear unabhängig sind sie für mich auch, da ich keine mit einem skalaren Vielfachen des Anderen erzeugen kann. Anyone can help? Danke schon mal für eure Tipps. |
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15.11.2010, 19:35 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit Begriffen wie Dimension, Kern, Rank lässt sich die Aufgabe sehr schnell lösen. --- Wenn du im die Lösungen konstruieren willst, beginnst du einfach mit den Einheitsvekoten und , die du mit Gram-Schmidt auf das orthogonale Komplement von projizierst. Also für . Dann suchst du zwei linear unabhängige heraus. Meistens hast du freie Auswahl. --- Deine Lösungen sind nicht linear unabhängig. Im kann es inbesondere nur linear unabhängige Vektoren geben. Du solltest dir die Definition von linearer Unabhängikeit angucken! Es genügt nicht, dass die Vektoren paarweise linear unabhängig sind! |
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17.11.2010, 22:29 | mika_r1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, @Cugu: Wir haben Begriffe wie Kern und Rank noch nicht gehört. Also komme ich mit deiner Antwort leider nicht klar. Wir haben heute aberr noch zwei Tipps zu der Aufgabe bekommen. Wir sollen sie mittels Induktion und dem Fundamentallemma der Linearen Algebra, das da (kurz) wäre: ein Körper. Ist m > n so ex ein so das Das heißt, die Zeilen der entstehenden Matrix sind linear abhängig. Richtig? Nun mal zur Induktion: Induktionsanfang mit n=1: Hier ist ja ganz schnell zu sehen, dass x=0 sein muss, da A != 0 also auch a != 0. Also haben wir nur die triviale Lösung 0 und keine (n-1=0) andere. Nun habe ich mehrere Ideen im Kopf... bekomme das aber nicht ganz geordnet: *Die erste Idee:* Induktionsvorraussetzung: Wir haben gezeigt, dass wir für 1xn, n-1 linear unabhängige Lösungen haben d.h.: sind linear unabhängig also: mit Induktionsschritt: Für n+1: Daraus würde ja folgen, dass da diese Idee habe ich aber wieder verworfen, weil die Lienarkombination ja mit x1-xn zu tun hat. *Die zweite Idee:* Ich weiß vom IA: sind linear unabhängig. also: Dort habe ich ja nun mehr Zeilen als Spalten. Das bleibt auch so für n+1. Ist das vielleicht die richtige Richtung? Hoffe, ich bin nicht total auf dem Holzweg. Danke schonmal! |
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17.11.2010, 23:49 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Koecher steht ... und so muss es auch wohl heißen. Entsprechent musst du die Lösungen andersherum in die Matrix schreiben: sind die Lösungen von . Indem man am Ende eine hinzufügt werden es Lösungen von . Jetzt brauchst du nur noch die -te Lösung... Die lineare Unabhängigkeit zu zeigen ist einfach. |
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18.11.2010, 00:15 | mika_r1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast natürlich recht. Es muss m < n heißen. Leider muss ich sagen, dass ich dir einfach nicht folgen kann. Ich wollte darauf hinaus: Ich schreibe für n alle n-1 Lösungen spaltenweise in die Matrix. Von denen weiß ich, dass sie liniear unabhängig sind und nur dadurch zu "0-en" sind, dass ich sie mit dem 0 multipliziere. Ich dachte/habe gehofft, dass wenn ich die Matrix jetzt jeweils um eine Zeile/Spalte erweitere ändert sich nix. |
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18.11.2010, 00:26 | Cugu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab, ich doch gemacht, ich habe die Lösungen von , nämlich in eine Matrix geschrieben. Und ja, die sind linear unabhängig und zwar auch dann noch, wenn man eine als -ten Eintrag ergänzt. Also Lösungen hast du schon. Aber du brauchst doch Stück... |
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