Surjektivität einer Abbildung über Mächtigkeit der Mengen

15.11.2010, 18:11	GdMI	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität einer Abbildung über Mächtigkeit der Mengen Meine Frage: Seien M,N Mengen. Beweise folgende Aussagen: (1) Ist $\begin{eqnarray} f: M \rightarrow N \end{eqnarray}$ eine surjektive Abbildung, dann gilt $\begin{eqnarray} \|N\| \leq \|M\| \end{eqnarray}$ . (2) Falls $\begin{eqnarray} 0 < \|N\| \leq \|M\| <\infty \end{eqnarray}$ , dann gibt es eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray} f: M \rightarrow N \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: zu (1) Mir ist klar, dass bei Surjektivität für jedes $\begin{eqnarray} y \in N \end{eqnarray}$ mindestens ein Urbild $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ existiert. Dementsprechend muss die Mächtigkeit der Definitionsmenge M größer/gleich der Zielmenge N sein. Auf welchen grundlegenden Gedanken muss ich dass herunterbrechen, damit es bewiesen ist? zu (2) Hier wird aus den Relationen der Mächtigkeiten beider Mengen auf die Surjektivität einer Funktion gefolgert. Auch hier ist mir die Art der Beweisführung nicht klar. Vielen Dank für eure Anregungen.
15.11.2010, 19:08	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist wie ihr $\begin{eqnarray} \|N\| \leq \|M\| \end{eqnarray}$ definiert habt? Über die Existenz einer Injektion?
15.11.2010, 21:45	GdMI	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einführung des Mächtigkeitsbegriffs erfolgte so: Definition 5.1 Für zwei ganze Zahlen $\begin{eqnarray} m, n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray} \{m, ..., n\}:=\{k \in \mathbb Z \| m \leq k\leq n\} \end{eqnarray}$ die Menge der ganzen Zahlen zwischen m und n. Lemma 5.2 Es seien $\begin{eqnarray} m, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ zwei natürliche Zahlen. a. Genau dann gibt es eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} f: \{ 1,..., n\} \rightarrow \{1,..., m\} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} n \leq m \end{eqnarray}$ b. Genau dann gibt es eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} f: \{ 1,..., n\} \rightarrow \{1,..., m\} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} n = m \end{eqnarray}$ (Zu Lemma 5.2 erfolgte ein Beweis.) Definition 5.3 a. Wir nennen eine Menge M endlich, wenn es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} f: \{ 1,..., n\} \rightarrow M \end{eqnarray}$ gibt, und in diesem Fall heißt die wegen Lemma 5.2 eindeutig bestimmte Zahl n die Mächtigkeit von M. Wir schreiben# $\begin{eqnarray} M:= \|M\|:= n \end{eqnarray}$ Andernfalls nennen wir M unendlich und setzen # $\begin{eqnarray} M := \|M\| := \infty \end{eqnarray}$ . Für mich heißt der Ausdruck $\begin{eqnarray} \|N\|\leq \|M\| \end{eqnarray}$ dementsprechend, dass die Menge N weniger/gleichviele Elemente enthält als die Menge M.
17.11.2010, 07:54	GdMI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand eine Idee?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »