Injektivität/Surjektivität

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15.11.2010, 19:10	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität/Surjektivität Meine Frage: Hallo! Ich soll sagen und begründen, ob die folgende Funktion surjektiv ist und ob sie bijektiv ist: f(x)=7x+5 Meine Ideen: also ich bin darauf gekommen, dass sie injektiv und surjektiv- also bijektiv ist! injektiv, da aus x1,x2 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R (reelle Zahlen) mit x1 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ x2 ==> 7x1+5 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 7x2+5 bzw. ist x1=x2 ==> 7x1+5 = 7x2+5 Reicht das als Begründung? Oder kann man das irgendwie anders aufschreiben? Es kommt wir vor, als wäre das bei mir nur eine Behauptung... surjektiv, da f(R)=R (kann man das so schreiben? Das kommt mir auch nur vor wie eine von mir aufgestellte Behauptung...) außerdem: f besitzt eine Umkehrfunktion: $\begin{eqnarray} f^{-1} \neq \end{eqnarray}$ (x)= (y-5)/7 ==> kann ich daraus folgen, dass die Funktion surjektiv ist? Oder geht das nur andersherum: Wenn die Funktion bijektiv ist, besitzt sie eine Umkehrfunktion? Es wäre super, wenn mir dabei jemand helfen könnte! Vielen Dank schonmal!
15.11.2010, 20:09	Caro85	Auf diesen Beitrag antworten »
also soviel ich weis beweist du surjektivität dadurch das du die funktion gegen plus und minus unendlich streben lässt und injektivität indem du beweist das die funktion streng monoton ist.
15.11.2010, 20:14	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
@Caro85, das ist aber nur dann möglich, wenn die Funktion stetig ist (und entsprechende Sätze schon in der Vorlesung vorgekommen sind). @ichbins! Deine Gedanken sind bisher richtig, du musst es nur noch komplett ausformulieren. Warum folgt aus $\begin{eqnarray} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray}$ direkt $\begin{eqnarray} x_1=x_2 \end{eqnarray}$ ? Zur Surjektivität betrachte die Urbildmenge $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ .
15.11.2010, 22:40	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hallo, da bin ich wieder! Ich bedanke mich für die Antworten zur Abendstunde! Also, ich würde dann zur Injektivität schreiben: f(x1)=f(x2) <=> 7x1 + 5 = 7x2 + 5 <=> 7x1 = 7x2 <=> x1 = x2 zur Surjektivität: also ich weiß nicht ob mir klar ist, was die Urbildmenge ist... Ich denke, dass müsste die Menge der x-Werte sein- also im Prinzip der Definitionsbereich?! Und dann würde ich jetzt sagen: $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (y) = {IR} Und dann wäre die Urbildmenge $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ Menge der y-Werte (=Bildmenge (?)), was bedeutet, dass die Abbildung surjektiv sein muss! (?) Stimmt das so? Für mich klingt es jetzt EIGENTLICH logisch... glaub ich...
15.11.2010, 22:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f:A\rightarrow B \end{eqnarray}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray} M\subseteq B \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(M):=\{x\in A~\|~f(x)\in M\} \end{eqnarray}$ das Urbild von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Das geht natürlich auch für einzelne Elemente aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} y\in B \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in A~\|~f(x)=y\} \end{eqnarray}$ . Jetzt nimm dir ein beliebiges $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und bestimme dazu ein Urbild.
15.11.2010, 23:04	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, selbst zu dieser Uhrzeit bekomme ich noch eine Antwort! D.h. ich soll jetzt ein konkretes Beispiel angeben (hab ich das richtig verstanden?). Dann probier ich das mal: Ich würde jetzt sagen: $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (12) = {1 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \| \end{eqnarray}$ f(x) =12} Ich hoffe, das ist nicht kompletter Blödsinn... Ist denn der Injektionsteil jetzt ok?
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15.11.2010, 23:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit hättest du nur gezeigt, dass die 12 ein Urbild besitzt, du sollst das aber für ein beliebiges $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ zeigen. Injektivität stimmt jetzt weitestgehend.
15.11.2010, 23:26	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Dann vielleicht so: $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (7x+5) = {((y-5)/7) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \| \end{eqnarray}$ f(x) =7x+5} Bitte sag, dass es stimmt! (aber nicht, wenn's falsch ist! )
15.11.2010, 23:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck dir nochmal genau die Definition des Urbilds an, das was du da aufschreibst ergibt so keinen Sinn. $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in \mathbb R~\|~f(x)=y\} \end{eqnarray}$ , übertrag das auf deine Aufgabe.
15.11.2010, 23:36	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
uiuiui... ja, also in dieser Form: $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in \mathbb R~\|~f(x)=y\} \end{eqnarray}$ muss ich das doch jetzt aufschreiben- ist das soweit richtig? Dann würde ich das ganze vielleicht so formulieren: $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (y) = {((y-5)/7) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \end{eqnarray}$ f(x) =y} oder f(x) = 7x+5 am Ende statt f(x)=y...?! Tappe ich jetzt völlig im Dunkeln?
15.11.2010, 23:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht in die richtige Richtung. $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in\mathbb R~\|~f(x)=y \end{eqnarray}$ , bisher wissen wir noch nichts über x oder y, aber wir wissen etwas über $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ .
15.11.2010, 23:47	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm... dann noch ein Versuch! $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ (y) = {x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| \end{eqnarray}$ f(x) = 7x+5} und dann hätte ich die Urbildmenge so definiert, dass es zu jedem y mindestens einen zugehörigen x-Wert geben muss bzw. da diese Gleichung bijektiv ist--> es gibt genau einen x-Wert, der Urbild von der y-Menge ist... ??? (Die Spannung steigt!) Jetzt aber, oooder?
15.11.2010, 23:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast jetzt genau das falsche ersetzt. $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in\mathbb R~\|~7x+5=y\} \end{eqnarray}$ , damit kannst du jetzt die Surjektivität begründen.
15.11.2010, 23:55	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, richtig... logisch... Ich bedanke mich nochmal sehr! Aber das reicht dann jetzt so noch nicht als Begründung- sehe ich das richtig? Jetzt muss ich wahrscheinlich noch zeigen wie ich darauf komme, dass das gilt, oder?
15.11.2010, 23:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du kannst jetzt zu jedem $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ das eindeutig bestimmte Urbild angeben.
15.11.2010, 23:59	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also dann reicht das doch so!?! Das ist super!! Nochmal ein dickes Dankeschön! Ich muss mir das dann alles nochmal ein bisschen durch den Kopf gehen lassen....
16.11.2010, 00:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt hier halt ein klein wenig auf das formale Aufschreiben an: Sei $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in\mathbb R~\|~f(x)=y\}=\{x\in\mathbb R~\|~7x+5=y\}=\{x\in\mathbb R~\|~x=\frac{y-5}7 \} \end{eqnarray}$ , damit hat $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ein Urbild unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , damit folgt weil $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ beliebig gewählt war, dass die Funktion surjektiv ist.
16.11.2010, 00:08	ichbins!	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank! Ich glaub, ich hab das jetzt auch alles (halbwegs) verstanden! Dann wünsche ich mal eine gute Nacht - und lass dich jetzt in Ruhe mit der Fragerei!

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