Die harmonische Reihe

15.11.2006, 12:53

flasher

Die harmonische Reihe

Hallo!

ich hänge zur Zeit an einer Aufgabe und weiß nicht recht weiter:

Man begründe mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ . Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Summenwert dieser Reihe und dem Wert der zugehörigen Partialsumme maximal, wenn man die ersten 99 Summanden berücksichtigt?

Die Begründung mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums ist mir gelungen.

Kriterien sind:
1.) Die Reihe muss alternierend sein
2.) Die Reihe muss eine monotone Nullfolge sein.

Ich habe mir dazu die ersten 5 Folgenglieder aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \pm .... \end{eqnarray*}$

Man kann erkennen, dass die Reihe alternierend ist! Und ebenfalls, dass sie sich immer weiter 0 annähert. Reicht das als Begründung? Gibt es ein mathematisches Verfahren um zu beweisen, dass es eine monotone Nullfolge ist, außer Glieder aufzuschreiben?

Im zweiten Teil soll ich den Summenwert ermitteln (bis 99)! Hier weiß ich leider nicht, wie ich vorgehen soll. Mir ist nur eine Summenformel für arithmentische und geometrische Reihen bekannt, allerdings nicht für harmonische Reihen!

Bin um jede Hilfe dankbar smile

Grüße,

Flasher

15.11.2006, 13:50

klarsoweit

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RE: Die harmonische Reihe

Zitat:

Original von flasher
Kriterien sind:
1.) Die Reihe muss alternierend sein
2.) Die Reihe muss eine monotone Nullfolge sein.

Achte auf die Wortwahl bzw. die richtige Anwendung des Leibniz-Kriteriums. Das lautet:
Wenn eine positive Folge a_k monoton fällt und gegen Null konvergiert, dann ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k}^{\infty}~(-1)^k \cdot a_k \end{eqnarray*}$ konvergent.

zu dem 2.:
Du mußt $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=100}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \right| \end{eqnarray*}$ geeignet nach oben abschätzen. Augenzwinkern

PS: wo bekommt man solche Aufgaben?

15.11.2006, 14:42

flasher

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Jetzt habe ich mir erst nochmal genau den Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe klar gemacht Augenzwinkern

Mit dieser von dir vorgeschlagenen Abschätzung bin ich mir allerdings trotzdem nicht sicher!
Also über 1 wird der Summenwert garantiert nicht sein!
Wie geht man bei solch einer Abschätzung vor?

Diese Aufgabe habe ich als Übungsblatt in "Grundlagen Mathematik" an der FH bekommen!

15.11.2006, 15:12

Lichy

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Zitat:

Original von flasher
Diese Aufgabe habe ich als Übungsblatt in "Grundlagen Mathematik" an der FH bekommen!

Machst du in den ersten paar Wochen auf der FH eh noch mal gründlich!

15.11.2006, 15:16

Dual Space

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FH=Fachhochschule, daher ...

*verschoben*

Augenzwinkern

15.11.2006, 15:19

klarsoweit

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RE: Die harmonische Reihe
Zunächst muß man eine Indextransformation k=2j machen:

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=100}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \right| = \left| -1 \cdot \sum_{k=100}^{\infty}~\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \right| = \left| -1 \cdot \sum_{j=50}^{\infty}~\left( \frac{(-1)^{2j+1}}{\sqrt{2j}} + \frac{(-1)^{2j+2}}{\sqrt{2j+1}}\right) \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left| -1 \cdot \sum_{j=50}^{\infty}~\left( \frac{-1}{\sqrt{2j}} + \frac{1}{\sqrt{2j+1}}\right) \right| = \left| -1 \cdot \sum_{j=50}^{\infty}~\frac{\sqrt{2j}-\sqrt{2j+1}}{\sqrt{2j} \cdot \sqrt{2j+1}} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left| \sum_{j=50}^{\infty}~\frac{1}{\sqrt{2j} \cdot \sqrt{2j+1} \cdot (\sqrt{2j} + \sqrt{2j+1})} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{j=50}^{\infty}~\frac{1}{2j \cdot \sqrt{2j+1} + (2j+1) \cdot \sqrt{2j}} \leq \sum_{j=50}^{\infty}~\frac{1}{2j \cdot \sqrt{2j} + 2j \cdot \sqrt{2j}} \end{eqnarray*}$

Die letzte Summe kann man als Untersumme für ein entsprechendes Integral ab j=49 betrachten und entsprechend nach oben abschätzen.

Ich frage mich nur, wieso sowas auf einer FH gemacht wird?

15.11.2006, 17:52

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von flasher
Man kann erkennen, dass die Reihe alternierend ist! Und ebenfalls, dass sie sich immer weiter 0 annähert. Reicht das als Begründung? Gibt es ein mathematisches Verfahren um zu beweisen, dass es eine monotone Nullfolge ist, außer Glieder aufzuschreiben?

Natürlich gibt es das! Die Glieder aufzuschreiben, reicht natürlich nicht aus. Du müsstest die Definition der Konvergenz anwenden und zeigen, dass das dort Geforderte gilt.
Zur Abschätzung. Da gibt es so eine tolle Restgliedabschätzung für Leibniz-Reihen:

Leibniz-Kriterium: Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)=(a_1,a_2,\ldots) \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~(-1)^k\cdot a_k \end{eqnarray*}$ und für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} s=\sum_{k=1}^{\infty}~(-1)^k\cdot a_k \end{eqnarray*}$ gilt zudem für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Restgliedabschätzung

$\begin{eqnarray*} |s-s_n|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}~(-1)^k\cdot a_k\right|\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 21:55

flasher

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Ich bedanke mich schonmal recht herzlich für eure ganzen Tips!

@ klarsoweit

Danke für deine ausführliche Beschreibung! Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass solch ein Lösungsweg gefordert ist. Ich bin im 1. Semster Studiengang Informatik und Index-Transformation haben wir noch garnicht durchgenommen! Wir haben in der letzten Vorlesung Konvergenz-Kriterien für Reihen durchgenommen.
Ich weiß ehrlich gesagt garnicht so recht was du da machst!
Zwar kann ich die einzelnen Schritte rechnerische nachvollziehen, aber der Sinn des ganzen bleibt mir verborgen!

Wir waren dabei den Summenwert der Reihe abzuschätzen. Wie kann ich denn jetzt nach dieser Indextransformation den Summernwert abschätzen?

Nächste Frage: Was ist die zugehörige Partialsumme? a_99 ?

@ Mathespezialschüler

Du meinst mit "der Definition der Konvergenz anwenden" ich soll eine Grenzwertbestimmung der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ durchführen. Dann würde ich auf das Ergebnis kommen, dass die Folge gegen 0 strebt!

Grüße,

Flasher

15.11.2006, 22:06

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von flasher
@ Mathespezialschüler

Du meinst mit "der Definition der Konvergenz anwenden" ich soll eine Grenzwertbestimmung der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ durchführen. Dann würde ich auf das Ergebnis kommen, dass die Folge gegen 0 strebt!

Das ist richtig, aber wenn ihr das noch nicht bewiesen habt, müsstest du das noch tun. (So wie es scheint, habt ihr das aber schon bewiesen).
Ich hab dir doch oben eine Möglichkeit gegeben, die gesuchte Differenz abzuschätzen! Hattet ihr das evtl. sogar schon so oder ähnlich in der Vorlesung? und verstehst du es?

Gruß MSS

15.11.2006, 23:40

flasher

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Ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher!

Die von dir genannte "Formel" haben wir zum Schluss unter "Fehlerabschätzung" noch schnell hingeklatscht bekommen!

$\begin{eqnarray*} \mid s_n - s \mid \leq \mid a_{n+1} \mid \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \mid s_{99} - s \mid \leq \mid a_{100} \mid \end{eqnarray*}$

Teilweise eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \mid s_{99} - s \mid \leq \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich allerdings immer noch nicht wie ich an dieser Stelle weitermachen soll!
Wie berechne ich s_99 ?
Und was ist s ?

Ich bin aber zumindest etwas erleichtert, dass meine Kommilitonen noch nichtmal soweit auf dem Übungsblatt gekommen sind Big Laugh

Wahrscheinlich stelle ich mich nur so blöd an! Unser Dozent hat zumindest gemeint, dass wir alle Aufgaben lösen können!

16.11.2006, 08:32

klarsoweit

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RE: Die harmonische Reihe

Zitat:

Original von flasher
Wie groß ist der Unterschied zwischen dem Summenwert dieser Reihe und dem Wert der zugehörigen Partialsumme maximal, wenn man die ersten 99 Summanden berücksichtigt?

Es ging doch darum (siehe oben). Die Abschätzung (die ich nicht kannte oder vergessen habe Augenzwinkern

) $\begin{eqnarray*} |s_{99} - s| \leq \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ liefert doch genau eine derartige Aussage. s ist der Reihenwert und s_99 die Partialsumme der ersten 99 Summanden. Der Reihenwert s ist also maximal ein 1/10 von s_99 entfernt. Fertig.

Meine Berechnung einer Abschätzung weiter oben ist sicherlich ganz nett und liefert sicherlich eine bessere Abschätzung, aber darum geht es ja nicht. Die kannst du also getrost mal an die Seite legen.

16.11.2006, 09:49

flasher

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@ klarsoweit

Du hast Recht, ich habe wohl gestern den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen Augenzwinkern

Aufgabe ist also gelöst smile

Danke euch!

Gruß,

flasher

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