nullstellen einen komplexen polynoms

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15.11.2010, 21:36	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
nullstellen einen komplexen polynoms Ich soll die nullstellen des polynoms ausrechnen, allerdings hab ich nur einen kleinen ansatz, ich hoffe ihr helft mir weiter Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des Polynoms p(z) = z^4 - 2z^3 + 6z^2 -8z +8 Hinweis: Sie können benutzen, dass p(1 + i) = 0 gilt. muss ich jetzt 1+i oben in die formel einsetzen, weil dann müsste man ja sehr viel rechnen....
15.11.2010, 21:58	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Wenn ich das richtig sehe, dann ist das ein komplexes Polynom mit reellen Koeffizienten. Was du da gegeben hast, dass ist eine Nullstelle (das sollst du sicherlich nicht noch mal überprüfen durch einsetzen, sondern einfach annehmen). Damit könntest du auch schon eine weitere Nullstelle angeben - weißt du welche? Damit kannst du das Polynom (z.B. durch Polynomdivision) auf ein Polynom zweiten Grades herunterbrechen, welches du lösen können solltest Gruß MI
15.11.2010, 22:04	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms achso okay..... müsste ich jetz das polynom : (1+i) nehmen....aber für mich ist das dann schwierig mit den i dabei
15.11.2010, 22:05	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Ja, das wäre die Polynomdivision im Komplexen. Es gibt natürlich noch eine andere Möglichkeit - dazu müsstest du aber wissen, wie denn eine weitere Nullstelle aussieht, die du sofort ablesen kannst (ich weise nochmal darauf hin, dass das Polynom nur reelle Koeffizienten hat). Gruß MI
15.11.2010, 22:15	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms mhh vllt. 1-i ???
15.11.2010, 22:24	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Ja. Und warum? Und wie könnte dir das helfen?
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16.11.2010, 12:58	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Habe ich geraten....ich weiß nicht warum ich diese sofort ablesen kann, weil mich dieses i stört. kann ich jetzt (1+i)(1-i) nehmen und das dann durch das polynom teilen weil ich brauch ja noch meine anderen beiden nullstellen? oder geht das nicht.....man ich steh iwie voll auf dem schlauch =(
16.11.2010, 13:07	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Nun mal langsam. Wenn z_0 eine komplexe Nullstelle ist, dann sind $\begin{eqnarray} z - z_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z - \overline{z_0} \end{eqnarray}$ Teiler des Polynoms. Also ist auch $\begin{eqnarray} (z - z_0) \cdot (z - \overline{z_0}) \end{eqnarray}$ ein Teiler.
16.11.2010, 18:06	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms okay, und wie bekomme ich jetzt die anderen 2 nullstellen raus?
16.11.2010, 18:17	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Multipliziere das mal aus, dann solltest du ein reelles Polynom zweiten Grades erhalten. Dann Polynomdivision und danach hast du noch ein Polynom zweiten Grades übrig. Wie du DAVON die Nullstellen bestimmst, sollte klar sein . Ist dir denn klar, warum das komplex konjugierte einer Nullstelle stets auch eine Nullstelle sein muss? Gruß MI
16.11.2010, 18:18	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Indem du erstmal den Teiler $\begin{eqnarray} (z - z_0) \cdot (z - \overline{z_0}) \end{eqnarray}$ berechnest und damit eine Polynomdivision durchführst.
16.11.2010, 18:23	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms @MI leider ist mir nicht klar wieso das die 2te nullstelle ist.....vllt könntest du es nochmal kurz erklären, warum man das sieht bzw sofort ablesen kann.... vielen dank schonmal
16.11.2010, 18:48	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Überlege dir warum gilt: $\begin{eqnarray} p(\overline{z})=\overline{p(z)} \end{eqnarray}$ also warum du (bei reellen Koeffizienten, sonst sicherlich nicht!) die Konjugation quasi über das gesamte Polynom ziehen kannst. Damit hast du: $\begin{eqnarray} p(z_0)=0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} p(\overline{z_0})=\overline{p(z_0)}=\overline{0}=0 \end{eqnarray}$ Gruß MI
16.11.2010, 20:42	Aenny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Okay, ich hab jetzt noch 2 weitere nullstellen und zwar hatte ich raus z^2= -4 das habe ich draus gemacht z1= 2i und z2= -2i muss ich das jetzt noch begründen oder kann ich direkt sagen z^2= -4 => z1= 2i oder muss da noch ein zwischenschritt hin.....analog natürlich für z2 ?????
17.11.2010, 00:01	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen einen komplexen polynoms Nein, ich denke es sollte genügen, wenn du das schreibst - aber das hängt auch ein wenig von den Korrektoren, etc. ab. Außerdem hängt das davon ab, wie sehr ihr die Wurzelfunktion behandelt habt, wie viel man noch dazu schreiben kann/muss. Du kannst aber insgesamt sagen: Es gibt zwei Nullstellen (Polynom zweiten Grades + Fundamentalsatz der Algebra), 2i ist eine (einsetzen --> gezeigt), die andere muss (wie oben) das komplex-konjugierte sein. Fertig. Das ist dann auch astrein mathematisch, weil du zwei Nullstellen gefunden hast und gezeigt hast, dass es nicht mehr geben kann. Gruß MI

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