Induktionsbeweis

15.11.2010, 21:48

exorxist

Induktionsbeweis

Hi,
ich habe hier ein Problem mit einer Aufgabe die durch vollständige Induktion zu lösen ist.

Diese lautet : $\begin{eqnarray*} 1 < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{3n+1} \end{eqnarray*}$

Ich würde echt gerne nen Ansatz von mir nennen, leider überlege ich schon verdammt lange und mir fällt einfach nix dazu ein.

Vielen Dank schonma

15.11.2010, 21:50

exorxist

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktionsbeweis
sry die richtige formel lautet: $\begin{eqnarray*} 1 < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{3n+1} < 2 \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 22:52

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktionsbeweis
Hallo!

Selbst wenn du keine Idee zur zu zeigenden Behauptung hast, solltest du den Induktionsanfang und die Induktionsbehauptung usw. hinschreiben können. Wie sähe das aus?

Grüße Abakus smile

16.11.2010, 00:35

exorxist

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktionsbeweis
Naja also Induktionsanfang ist ja dann für n = 1, also

$\begin{eqnarray*} 1 < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{4} < 2 \end{eqnarray*}$

und die induktionsbehauptung is doch dann, dass der ganze funktionsterm auch für n+1 gilt oder? Also für die n im Prinzip n+1 einsetzen.
Hab noch nie wirklich Induktion gemacht und hab deshalb auch wirklich keine Idee, wie ich da jez vorgehen sollte.

Grüße smile

16.11.2010, 07:19

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Die linke Seite ist ziemlich klar: Man kann zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{3n+1} \end{eqnarray*}$

streng monoton wachsend ist. Durch Vollständige Induktion (VI) mit Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} a_1 > 1 \end{eqnarray*}$ ist dann auch $\begin{eqnarray*} a_n > 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ klar.

----------------------------------------------------------

Zur rechten Seite ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} b_n = a_n + \frac{1}{3n+2} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{3n+2} \end{eqnarray*}$

ist streng monoton fallend ...

16.11.2010, 08:40

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktionsbeweis
Kleine Anmerkung:

Interpretiert man die Summe als Zwischensumme eines Integrals (Riemannsche Summe),
dann kann man sogar den Grenzwert angeben.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{3n+1}=\frac1n\sum_{k=1}^{2n+1}\frac 1{1+\frac kn}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\int_0^2\frac {\dd x}{1+x}=\ln(3) \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 12:06

exorxist

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, na das sind doch schonma gute tipps auch wenn ich sie noch nicht 100%ig nachvollziehen kann.

Wo kommt bei Rene denn die $\begin{eqnarray*} a_{n} + \frac{1}{3n+2} \end{eqnarray*}$ her.
hab grad bisschen rumprobiert.
Muss ja n+1 für das n einsetzen, aber wo genau, damit ich auf $\begin{eqnarray*} a_{n} + \frac{1}{3n+2} \end{eqnarray*}$ komme. $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist ja die Folge der linken Seite oder?

16.11.2010, 18:04

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von exorxist
Wo kommt bei Rene denn die $\begin{eqnarray*} a_{n} + \frac{1}{3n+2} \end{eqnarray*}$ her.

Weil es passt! Augenzwinkern

Ein häufig benutzter Trick: Man konstruiert eine Majorantenfolge, die im Gegensatz zur eigentlichen Folge monoton fallend ist, womit die obere Schranke 2 dann leicht nachgewiesen werden kann.

-----------------------------

Eine andere bekannte Anwendung dieser Methode findet man bei der "üblichen" Definition von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , dort sind es die Folgen

$\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n, \quad b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Induktionsbeweis

Verwandte Themen