Untervektorraum(axiome)...

15.11.2010, 22:39

Ibn Batuta

Untervektorraum(axiome)...

Hallo,

also sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine Menge, $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ein Element aus dieser Menge und $\begin{eqnarray*} Abb(V, \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum mit:
$\begin{eqnarray*} Abb(V, \mathbb{R}) := \{f|f:V\rightarrow \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f+g)(v):=f(v)+g(v) \forall v \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a\cdot f)(v):=a\cdot f(v) \forall v \in V \end{eqnarray*}$

Ich soll nun überprüfen, ob die nachstehenden Teilmengen Untervektorräume davon sind.
(i) $\begin{eqnarray*} \{f \in Abb(V, \mathbb{R}) | f(v) = 0\} \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \{f \in Abb(V, \mathbb{R}) | f(v) = 1\} \end{eqnarray*}$

Was zu zeigen ist, ist eigentlich simpel. Nämlich die Untervektorraumaxiome zu überprüfen, allerdings weiß ich im Moment nicht mal, wie ich zeigen soll, daß (i) $\begin{eqnarray*} \ne \varnothing \end{eqnarray*}$ ist. unglücklich

Kann mir jemand ein Beispiel geben, wie ich zu anfangen habe?

Ibn Batuta

15.11.2010, 22:56

kiste

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Gib eine konkrete Abbildung an, da gibt es sehr "einfache" Kandidaten

16.11.2010, 09:34

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von kiste
Gib eine konkrete Abbildung an, da gibt es sehr "einfache" Kandidaten

Hmm......

16.11.2010, 10:20

Iorek

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Na, wenn du eine Abbildung angeben kannst, die die geforderten Eigenschaften hat, dann ist die Menge nicht leer.

Üblicherweise nimmt man den Nullvektor, da dieser eh notwendig für einen Unterraum ist.

16.11.2010, 12:25

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Iorek
Na, wenn du eine Abbildung angeben kannst, die die geforderten Eigenschaften hat, dann ist die Menge nicht leer.

Üblicherweise nimmt man den Nullvektor, da dieser eh notwendig für einen Unterraum ist.

$\begin{eqnarray*} g: V -> \mathbb{R}, v \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , woraus doch folgt, daß $\begin{eqnarray*} g = 0 \end{eqnarray*}$ ist, also die Nullabbildung. Ist das so richtig? (Dann wäre ja schon damit bewiesen, daß $\begin{eqnarray*} V \ne \varnothing \end{eqnarray*}$ .)

Wie zeige ich die anderen beiden Untervektorraumaxiome? Komme mit der Abbildung irgendwie überhaupt nicht klar... -.-

Ibn Batuta

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