Umkehrfunktion einer quadratischen Gleichung

16.11.2010, 09:55

BlackRat

Umkehrfunktion einer quadratischen Gleichung

Hallo,

ich habe mir zig Aufgaben hier schon angeschaut und bin mir aber nicht hunderprozentig sicher.

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Umkehrfunktion mit dem u.U. eingeschränkten Definitions- und Wertebereich an.
$\begin{eqnarray*} g(x) = -2x^{2}+6x-10 \end{eqnarray*}$

Idee:
Im kompletten Bereich ist sie nicht umkehrbar, da es sich ja um eine Parabel handelt, aber wenn ich einen eingeschränkten Wertebereich angebe, müsste ich ja diesen Teil umkehren können.

Wertebereich bestimmen:
$\begin{eqnarray*} g'(x)=-4x+6 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
Die Funktion ist im Bereich von ]- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}[ \end{eqnarray*}$ größer 0 und somit umkehrbar.

Dann erhalte ich mit der Mitternachtsformel:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-44-8y}}{-4} \end{eqnarray*}$

Aufgrund des Wertebereichs kann nur ein x korrekt sein:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{2}-0.5 i \sqrt{11+2y} \end{eqnarray*}$

Nun muss noch x und y vertauscht werden und dann erhalte ich die Umkehrfunktion:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \frac{3}{2}-0.5 i \sqrt{11+2x} \end{eqnarray*}$
im Wertebereich ]- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}[ \end{eqnarray*}$ .

Und nun hoffe ich, dass das korrekt ist. Kann das Ergebnis jemand bestätigen?
Wird noch ein Definitionsbereich benötigt oder ist der im Wertebereich schon enthalten?

Vielen Dank
BlackRat

16.11.2010, 10:12

klarsoweit

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RE: Umkehrfunktion einer quadratischen Gleichung

Zitat:

Original von BlackRat
Die Funktion ist im Bereich von ]- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}[ \end{eqnarray*}$ größer 0 und somit umkehrbar.

Hää?

Erstens ist das falsch, wie man am Plot leicht sieht und zweitens, was hat das Vorzeichen der Funktionswerte mit der Umkehrbarkeit zu tun?

Zitat:

Original von BlackRat
Aufgrund des Wertebereichs kann nur ein x korrekt sein:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{2}-0.5 i \sqrt{11+2y} \end{eqnarray*}$

Was soll denn das? Jetzt hast du auf einmal komplexe Werte als Urbild, wo du doch eigentlich eine Abbildung auf den reellen Zahlen hattest.

Und noch ein Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. Die sehen im IE fürchterlich aus.

16.11.2010, 10:32

BlackRat

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RE: Umkehrfunktion einer quadratischen Gleichung

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von BlackRat
Die Funktion ist im Bereich von ]- $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}[ \end{eqnarray*}$ größer 0 und somit umkehrbar.

Hää?

Erstens ist das falsch, wie man am Plot leicht sieht und zweitens, was hat das Vorzeichen der Funktionswerte mit der Umkehrbarkeit zu tun?

Also ich hatte das so verstanden, dass ich entweder den bereich kleiner 1.5 oder größer 1.5 betrachten kann, damit die Funktion umkehrbar ist.
Und ich habe den Bereich kleiner 1.5 gewählt.
Zumindestens hatte ich in weiterne Beiträgen gefunden, dass man mit der Ableitung eine Aussage über den Wertebereich machen kann.
Und jetzt wo ich das schreibe fällt mir auf, dass die Aussage, dass die Funktion größer 0 sei, falsch ist, sondern vielmehr auf die Steigung bezogen ist.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von BlackRat
Aufgrund des Wertebereichs kann nur ein x korrekt sein:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{2}-0.5 i \sqrt{11+2y} \end{eqnarray*}$

Was soll denn das? Jetzt hast du auf einmal komplexe Werte als Urbild, wo du doch eigentlich eine Abbildung auf den reellen Zahlen hattest.

Ja das wundert mich auch ein wenig. Ich schreibe die Lösung der quadratischen Gleichung noch einmal hin, vielleicht findet sich ja der Fehler auf dem Weg.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-6\pm\sqrt{36-4(-2)(-10-y)}}{2(-2)}=\frac{-6\pm\sqrt{36-80-8y}}{-4}=\frac{-6\pm\sqrt{-44-8y}}{-4} \end{eqnarray*}$

Somit habe ich doch eine negative Wurzel. Außer wenn $\begin{eqnarray*} y<-5.5 \end{eqnarray*}$ ist.
Das wäre ja dann der Definitionsbereich. D.h. dass ich die Mitternachtsformel so stehen lassen muss und über den Definitionsbereich eine konkrete Aussage angeben kann??

Gruß

16.11.2010, 10:46

klarsoweit

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RE: Umkehrfunktion einer quadratischen Gleichung

Zitat:

Original von BlackRat
Und jetzt wo ich das schreibe fällt mir auf, dass die Aussage, dass die Funktion größer 0 sei, falsch ist, sondern vielmehr auf die Steigung bezogen ist.

OK, das war mißverständlich. Ich hatte deine Aussagen auf die Funktion bezogen und nicht auf die Ableitung.

Zitat:

Original von BlackRat
Somit habe ich doch eine negative Wurzel. Außer wenn $\begin{eqnarray*} y<-5.5 \end{eqnarray*}$ ist.
Das wäre ja dann der Definitionsbereich. D.h. dass ich die Mitternachtsformel so stehen lassen muss und über den Definitionsbereich eine konkrete Aussage angeben kann??

Genau. Wie man am Plot sieht, ist der maximale y-Wert = -5,5. Umgekehrt umfaßt also der Definitionsbereich der Umkehrfunktion alle Werte, die kleiner-gleich -5,5 sind.

16.11.2010, 10:49

BlackRat

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Super

Vielen Dank für die Hilfestellung!

Gruß BlackRat

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