Lebesgue-Maß einer Menge

16.11.2010, 10:59

chaplin

Lebesgue-Maß einer Menge

Meine Frage:
Hallo!
Sitze gerade an einer schwierigen Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe und finde einfach keinen richtigen Ansatz. Ich hoffe ihr koennt mir helfen!
Die Aufgabe lautet:
Sei $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung welche alle $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ abbildet.
Wir definieren
$\begin{eqnarray*} A = \cup_{n\in\mathbb{N}} [ \pi(n) - 3^{-n}, \pi(n) + 3^{-n}] \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \lambda (A) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das Lebesgue-Maß sei und zeigen Sie
$\begin{eqnarray*} \lambda ( A \cap [0,1]) < 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich dachte eigenlich, dass A = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein müsste, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ der Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist und durch die Intervalle eigenlich alles abgedeckt werden müsste. Aber diese Überlegung lässt sich mit dem zweiten Teil der Aufgabe nicht vereinbaren.

16.11.2010, 11:14

René Gruber

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Zitat:

Original von chaplin
Wir definieren
$\begin{eqnarray*} A = \cup_{n\in\mathbb{N}} [ \pi(n) - 3^{-n}, \pi(n) + 3^{-n}] \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \lambda (A) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht möglich, solange nicht die genaue Gestalt der Bijektion $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekannt ist (und auch dann ist es nahezu unmöglich beherrschbar). unglücklich

Für den weiteren Verlauf genügt ja vielleicht auch die Angabe einer oberen Schranke für dieses $\begin{eqnarray*} \lambda (A) \end{eqnarray*}$ , mit anderen Worten: eine Abschätzung nach oben.

16.11.2010, 11:22

chaplin

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Habe eben eine Korrektur der Blattes erhalten, in der auch steht, dass $\begin{eqnarray*} \lambda(A) \end{eqnarray*}$ nicht direkt bestimmtbar ist. Allerdings geht mir trotzdem nicht ein, warum $\begin{eqnarray*} A \neq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.
Eine Abschätzung nach oben bekomme ich durch
$\begin{eqnarray*} \lambda ( A \cap [0,1] \le \lambda([0,1] = 1 \end{eqnarray*}$ wegen der Monotonie des Lebesgue-Maßes. Aber woher kommt das echt kleiner???
Wo sind die "Lücken" meiner Menge A?

16.11.2010, 12:02

René Gruber

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Die eigentliche Abschätzung ist ja wohl

$\begin{eqnarray*} P(A) = P\left( \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} \left[ \pi(n) - 3^{-n}, \pi(n) + 3^{-n}\right] \right) \leq \sum\limits_{n\in\mathbb{N}} P\left( \left[ \pi(n) - 3^{-n}, \pi(n) + 3^{-n}\right] \right) = \ldots \end{eqnarray*}$ .

Tja, und wo sind die Lücken? Auch wenn man sich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht so richtig vorstellen kann, weil es offen, dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und trotzdem von endlichem Lebesgue-Maß ist (genaueres wirst du ja noch ausrechnen): Dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ existiert. smile

16.11.2010, 12:31

chaplin

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Ok, $\begin{eqnarray*} \lambda (A) \le 3 \end{eqnarray*}$ . Das ist ja verrückt. Aber das echt kleiner beim zweiten Teil bekomm ich immer noch nicht hin. Gibts denn einen Trick?

16.11.2010, 12:57

René Gruber

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Also ich hab das so verstanden, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die natürlichen Zahlen ohne Null bedeutet. verwirrt

In dem Fall bekommt man sogar $\begin{eqnarray*} \lambda(A)\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Mit Null wäre die Aussage nämlich auch falsch - da müsste man nur eine Bijektion mit $\begin{eqnarray*} \pi(0)=0 \end{eqnarray*}$ nehmen, schon wäre das gesamte Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ vollständig in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten und mithin $\begin{eqnarray*} \lambda(A\cap [0,1]) = \lambda([0,1]) = 1 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2010, 13:32

chaplin

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Ah, stimmt, habe aus Versehen die geometrische Reihe ab $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ berechnet.
Trotzdem komme ich nicht auf $\begin{eqnarray*} \lambda(A \cap [0,1]) < 1 \end{eqnarray*}$ . Wie komme ich auf echt kleiner??

16.11.2010, 14:11

René Gruber

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Du hast doch bereits $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Du musst also aus der gesamten Vereinigung lediglich ein, wenn auch noch so winziges Intervall herausnehmen, um auf $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ zu kommen. Fällt dir da wirklich nicht ein, wo man so ein Intervall, welches nichts mit $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zu tun hat, herbekommen könnte? Augenzwinkern

16.11.2010, 14:30

chaplin

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Ich kann ja ein beliebiges herausnehmen, das weit genug entfernt von [0,1] ist! Und solche gibt es, da ich eine bijektive Abbildung habe!
Das war ein super Hinweis! Danke vielmals! Freude

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