aufsteigende Kette von Primidealen

16.11.2010, 11:54

Riemannson

aufsteigende Kette von Primidealen

Hallo,

weiß jemand wie ich zeigen kann, dass falls R ein Hauptidealring ist und $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_0 \subseteq \mathfrak p_1 \subseteq \mathfrak p_2 \end{eqnarray*}$ eine aufsteigende Kette von Primidealen ist. Das dann in mindestens einem der beiden Fälle Gleichheit herrscht.

Ich muss doch zeigen das $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_0 \supseteq \mathfrak p_1 \ \ oder \ \ \mathfrak p_0 \supseteq \mathfrak p_2 \end{eqnarray*}$ oder?

16.11.2010, 13:35

system-agent

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In einem Hauptidealring ist ein Primideal auch ein Maximalideal.

16.11.2010, 14:24

Riemannson

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kann ich dann direkt sagen, da $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_0 \end{eqnarray*}$ schon maximal mus gelten $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_0 = \mathfrak p_1 \ \ da \ \ \mathfrak p_1 \end{eqnarray*}$ auch maximal?

16.11.2010, 15:38

system-agent

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Direkt aus der Maximalitätseigenschaft kannst du $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_1=\mathfrak p_2 \end{eqnarray*}$ schliessen und aus derselben Eigenschaft folgt dann sogar noch $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_0=\mathfrak p_1 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2010, 22:07

jester.

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Zitat:

Original von system-agent
In einem Hauptidealring ist ein Primideal auch ein Maximalideal.

Falls man $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ als Primideal ausschließt. Ich kenne Hauptidealringe nur als nullteilerfreie Ringe und dort ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ein Primideal, das i.A. nicht maximal ist.

16.11.2010, 22:48

Riemannson

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dann ist doch maximal ein primideal das nullideal und das heißt das dann oBdA $\begin{eqnarray*} \mathfrak p_0 =\lbrace 0 \rbrace \ \ und \ \ \mathfrak p_1 = max. \ \ \mathfrak p_2 = max. => \mathfrak p_1 = \mathfrak p_2 \end{eqnarray*}$ oder?

17.11.2010, 11:28

Riemannson

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ich glaube das hat was mit noethersch zu tun...allerdings hab ich davon keine ahnung!

17.11.2010, 11:47

system-agent

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Ein Hauptidealring ist noethersch, ja, nur das brauchst du hier nicht.

Ja, ich kenne die Definition eines Hauptidealringes als ein kommutativer Ring mit 1, der ein Integritätsbereich ist und jedes Ideal ist ein Hauptideal.

In diesem Fall kann man zeigen, dass jedes Primideal auch ein Maximalideal ist:
$\begin{eqnarray*} \{\mathfrak p\,\,:\,\,\mathfrak p\subset R\text{ Primdeal}\}=\{\,\,:\,\, \subset R\text{ Primideal}\}=\{\,\,:\,\, p\in R\text{ Primelement}\}\cup\{<0>\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\{\,\,:\,\,p\in R\text{ irreduzibel}\}\cup\{<0>\}=\{I\subset R\,\,:\,\, I\text{ Maximalideal}\}\cup\{<0>\} \end{eqnarray*}$

Dazu muss man vorher noch zeigen dass in einem Hauptidealring die Primelemente und irreduzible Elemente dasselbe sind und ausserdem noch, dass
(i) $\begin{eqnarray*} p\in R \end{eqnarray*}$ prim genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ ein Primideal
(ii) $\begin{eqnarray*} p\in R \end{eqnarray*}$ irreduzibel genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$ ein Maximalideal und $\begin{eqnarray*} \neq R \end{eqnarray*}$ .
Dabei braucht man für (i) und (ii) aber garnicht dass es ein Hauptidealring ist; ein kommutativer Integritätsbereich mit 1 reicht.

17.11.2010, 16:28

Riemannson

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dann kann ich ja sagen weil in jedem NICHT- hauptidealring die primideale nicht maximal sein müssen existiert dort eine solche Kette... also in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \ \ oder \ \ \mathbb C[X,Y] \end{eqnarray*}$ die sogar echt aufsteigen kann richtig?

17.11.2010, 18:36

system-agent

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Niemand hat gesagt dass eine solche existieren muss.

18.11.2010, 17:45

Riemannson

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ja aber können...ich soll nämlich zeigen das solche Ketten in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \ \ und \ \ \mathbb C[X,Y] \end{eqnarray*}$ existieren wie kann ich denn da ran gehen, da die negation davon dass sie in HIR nicht existieren, ja wie du schon sagtest, nicht heißt das sie existieren MÜSSEN! gibt es dort vllt einfache beispiele?

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