Wurzelungleichung lösen

16.11.2010, 12:43

eurekleene13

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Wurzelungleichung lösen

Meine Frage:
Bestimmen sie alle reelen Lösungen x folgender Ungleichung:
Wurzel(2x-4)-wurzel(x-1) <= 1

Meine Ideen:
definitionsbereich ist x >= 2
nun alles quadrieren ergibt:
2x-4-(4x^2-8x+8)+x-1

2x-4-4x^2+8x-8+x-1

-4x^2+11x-13

x^2-2.75x+3.25

leider erhalte ich dann keine lösung kann mir jemand sagen wo ich einen Fehler gemacht habe?

16.11.2010, 12:52

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Der Fehler liegt beim Quadrieren. Du hast die binomischen Formeln nicht richtig angewendet.

16.11.2010, 13:32

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
ich kann meinen fehler nicht finden ich habe doch a= wurzell eins
b= wurzel 2
also die 2.binomische formel a^2-2ab+b^2
a^2 =2x-a
b^2= x-1
2ab= 2*(2x^2-4x+4)

in welchem Teil steckt der Fehler?

16.11.2010, 13:57

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen

Zitat:

Original von eurekleene13
2ab= 2*(2x^2-4x+4)

Nein. Was ist denn a bzw. b?

16.11.2010, 14:21

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
ach mist a und b sind ja die wurzelfunktionen ich habe daraus gleich 2a^b^2 gemacht mist...
dann wäre richtig (2x-4)-2x-12x-4+(x-1)<=1
usw bis 0>= x^2-24x+26
jetzt Richtig?

16.11.2010, 14:25

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Jetzt schreib doch mal ordentlich hin, was in der binomischen Formel dem a bzw. b entsprechen.

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16.11.2010, 14:29

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
a=wurzel(2x-4)
b=wurzel(x-1)
a^2=(2x-4)
b^2=(x-1)
2*a*b=-2x-12x-4

16.11.2010, 15:22

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
unglücklich

unglücklich

Ich weiß nicht,. was du rechnest. Es kann soch nicht so schwer sein, in 2*a*b für a und b diese Ausdrücke

Zitat:

Original von eurekleene13
a=wurzel(2x-4)
b=wurzel(x-1)

einzusetzen. Und zwar wortwörtlich, ohne Rechnerei oder sonstigem Brimborium.

16.11.2010, 15:56

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
2*wurzel(2x-4)*wurzel(x-1)
das ist klar und nun

16.11.2010, 16:08

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Also im ganzen:

$\begin{eqnarray*} 2x - 4 - 2 \cdot \sqrt{2x-4} \cdot \sqrt{x-1} + x - 1 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt mu0t du die Wurzel isolieren und nochmal wuadrieren.

16.11.2010, 16:34

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
Isolieren geht doch gar nicht sie bleiben so oder so in der gleichung und wenn icvh die nochmals quadriere muss ich alles quadrieren kann ich nicht einfach anstatt der wurzel hoch minus 0.5 schrieben?

16.11.2010, 17:48

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Isolieren heißt, du verschiebst alles außer den Wurzeln auf die rechte Seite.

18.11.2010, 10:24

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
2*wurzel(2x^2-6x+5)>=3x-6 Richtig

dann quadriere ich und komme durch umstellen auf 0>=x^2-24x+26 richtig?

18.11.2010, 10:44

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen

Zitat:

Original von eurekleene13
2*wurzel(2x^2-6x+5)>=3x-6 Richtig

Es muß 2*wurzel(2x^2-6x+4) >= 3x-6 heißen.

Wie du dann trotz diesen Fehlers auf die nächste Ungleichung gekommen bist, ist mir nicht klar.

18.11.2010, 13:40

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
habe einfach nur umgeformt also ist die ungleichung am ende richtig???

18.11.2010, 13:51

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Nein, deswegen habe ich ja gefragt, wie du dahingekommen bist.

18.11.2010, 15:26

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
(2x-4)-2*wurzel(x-1)wurzel(2x-4)+(x-1)<= 1
3x-5-2*wurzel(2x^2-4x+2x-5)<=1
3x-2*wurzel(2x^2-6x+5)<=1+5
-2 wurzel(2x^2-6x+5)<=6-3x
2 wurzel(2x^2-6x+5)>= 3x-6
4(2x^2-6x+5)>= (3x-6)^2
8x^2-12x+10>= 9x^2-36x+36
-12x+10>=x^2-36x+36
10>=x^2-24x+36
0>= x^2-24x+26

dann erkläre mir bitte wo der fehler liegt und wie es richtig ist

18.11.2010, 15:55

René Gruber

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Obacht bei Quadrierungen!!!
Zu konkreten Rechnungen will ich mich nicht äußern, aber mal folgendes ansprechen:

Bei Gleichungen können Quadrierungen bewirken, dass Scheinlösungen entstehen. Ok, die kann man durch eine Probe eliminieren.

Bei Ungleichungen aber können leichtfertige Quadrierungen, wie sie hier zu Beginn geschehen sind, sogar Lösungen vernichten, d.h. diese Quadrierungen sind auch i.a. keine Implikationen: Aus der richtigen Aussage $\begin{eqnarray*} -2<1 \end{eqnarray*}$ wird durch eine Quadrierung, wie sie hier geschehen war, die falsche Aussage $\begin{eqnarray*} 4 = (-2)^2 < 1^2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Oder am Beispiel der für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ des Definitionsbereichs geltenden Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}-\sqrt{2x+1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ demonstriert:

Unbedacht quadriert führt das vermeintlich zu

$\begin{eqnarray*} 3x+1-2\sqrt{x(2x+1)}\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x \leq 2\sqrt{2x^2+x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9x^2 \leq 8x^2+4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-4x \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$

D.h., die Auch-Lösungen $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ sind verschwunden, und zwar bereits in diesem ersten, unbedachten Quadrierungsschritt.

-------------------------------------

Wie vermeidet man das Tapsen in diese Falle? Am besten, indem man vor jedem Quadrierungsschritt sicherstellt, dass auf beiden Seiten der Ungleichung wirklich nichtnegative Werte stehen, zur Not auch über eine Fallunterscheidung.

Im vorliegenden Fall etwa wäre das durch die vorherige Umgruppierung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-4} \leq 1 + \sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$

gesichert. Was beiläufig bemerkt im konkreten Fall auch den Vorteil einer doch deutlich leichteren Rechnung hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2010, 10:14

eurekleene13

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RE: Obacht bei Quadrierungen!!!
aber wenn ich deine vorschlag jetzt nach x auf löse bekomme ich x<= 4 raus aber das ist doch nich´t die komplette lösung der aufgabe oder??

19.11.2010, 10:20

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen

Zitat:

Original von eurekleene13
4(2x^2-6x+5)>= (3x-6)^2
8x^2-12x+10>= 9x^2-36x+36

Der Fehler liegt links beim Ausmultiplizieren der Klammer.

@Rene Gruber: das Problem mit dem Quadrieren gehen wir später an. Das habe ich nicht vergessen.

19.11.2010, 10:33

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eurekleene13
4(2x^2-6x+5)>= (3x-6)^2
8x^2-12x+10>= 9x^2-36x+36

Der Fehler liegt links beim Ausmultiplizieren der Klammer.

@Rene Gruber: das Problem mit dem Quadrieren gehen wir später an. Das habe ich nicht vergessen.

sind es links anstatt -12x +12x???

19.11.2010, 10:53

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Es liegt am kleinen Einmaleins:
4 * (-6) ist ?
4 * 5 ist ?

19.11.2010, 11:04

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
4* -6=-24
4*5=20
dann kommt nach den auflösungen 0>x^2-12x+16
richtig

19.11.2010, 11:25

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Leider habe ich übersehen, daß du einen Fehler, auf den ich schon hingewiesen hatte, nicht korrigiert hast:

Zitat:

Original von eurekleene13
(2x-4)-2*wurzel(x-1)wurzel(2x-4)+(x-1)<= 1
3x-5-2*wurzel(2x^2-4x+2x-5)<=1

In der 2. Zeile muß es $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x^2-4x-2x+4} \end{eqnarray*}$ heißen.

19.11.2010, 11:31

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
dann anstatt 16 am ewnde 20

19.11.2010, 12:15

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Damit wären wir also bei $\begin{eqnarray*} x^2-12x+20 \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Um nochmal auf den Hinweis von Rene Gruber einzugehen:
Die ganze Rechnung war natürlich nur ok, wenn die linke Seite nicht-negativ, also wenn

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x-4} \geq \sqrt{x-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Da mußt du noch schauen, für welche x das der Fall ist.
Im anderen Fall ist die Ungleichung eh erfüllt.

Insgesamt ist dann noch der Definitionsbereich der Wurzeln du beachten.

19.11.2010, 18:44

eurekleene13

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RE: Wurzelungleichung lösen
für alle x>= 2

20.11.2010, 17:20

klarsoweit

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RE: Wurzelungleichung lösen
Die Antwort ist jetzt so kurz, daß man nicht weiß, was du sagen willst.

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