Art der Kurve anhand ihrer Parameterdarstellung erkennen

16.11.2010, 12:46

Rotationskörper

Art der Kurve anhand ihrer Parameterdarstellung erkennen

Meine Frage:
Musste anhand einer Geradenschar die Einhüllende bestimmen.
Ergebnis (durch Proberechnen verifiziert):

$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{1}{s} \begin{pmatrix} t^{2} \\ (t-s)^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , s > 0, s konstant

Scheitere an der Frage, um welche Art von Kurve es sich handelt.

Visualisiert sieht sie aus wie 2 Parabeläste, die einmal für t >= 0 und andererseits für t < 0 im Punkt (0, s) zusammentreffen, aber ansonsten wenig miteinander zu tun haben.

Meine Ideen:
Umformversuche in Richtung Brennpunktgleichung oder Polarkoordinatendarstellung scheiterten.

Vielen Dank

16.11.2010, 21:08

Abakus

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RE: Art der Kurve anhand ihrer Parameterdarstellung erkennen
Hallo!

Nützt es was, wenn Du $\begin{eqnarray*} u = t^2 \end{eqnarray*}$ substituierst?

Hier mal s=1 gesetzt und nur einen Teil betrachtet:

Grüße Abakus smile

17.11.2010, 06:06

Rotationskörper

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Hallo Abakus,
danke für die Antwort.

Ja, das habe ich im Rahmen der angesprochenen Visualisierung schon gemacht und kam zur gleichen Funktion. Auf diese Weise kam ich auch auf den anderen Ast (t<0).

Versuchte weiter, da die Darstellung zunächst etwas undeutlich war, die Kurve durch eine Bewegung in Scheitelpunktgleichung zu bringen und so zu vereinfachen

Bemerkte dann aber, dass keine Symmetrie zwischen den beiden Ästen errericht werden kann.

Das Problem ist, dass ich nicht weiß, ob die von dir dargestellte Funktion tatsächlich eine Parabel ist und nicht nur so aussieht.

Anders ausgedrückt wie kann man sie zum Beweis in eine Parabelform, egal ob Parabelgleichung, Scheitelpunktform oder Brennpunktgleichung/Polarkoordinatendarstellung bringen kann.

Viele Grüße
Erich

17.11.2010, 18:28

Abakus

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Eine Idee könnte sein, die Gleichung in eine algebraische Kurve/Gleichung zu verwandeln und dann zu schauen, was es ist.

Mein Beispiel war:

$\begin{eqnarray*} y = x - 2 \sqrt x + 1 \end{eqnarray*}$

jetzt geeignet quadriert:

$\begin{eqnarray*} 4x = (x - y)^2 + 2(x - y) + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = z^2 + 2z + 1 \end{eqnarray*}$

Hier wurde im letzten Schritt $\begin{eqnarray*} z = x - y \end{eqnarray*}$ substituiert, was einer Drehung um 90° entspricht.

Das sähe aus wie eine Parabel dann. Insgesamt ist das jedoch noch zu überdenken, ob hier jeder Schritt so gemacht werden kann, was meinst Du?

Grüße Abakus smile

18.11.2010, 16:57

Rotationskörper

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Hallo Abakus,

zunächst vielen Dank für deine Antwort.

1. Mit deinem Ansatz komme ich nicht immer klar.
Frage: Warum hast du zunächst quadriert?

Als du dann quadriert hast, kam ich ausgehend aus deiner Gleichung auf anderem Weg auf die Parabel:

$\begin{eqnarray*} 0= x^{2} -2xy + y^{2} - 2x - 2y +1 \end{eqnarray*}$

Offensichtlich eine Kurve 2. Grades mit der Matrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow S=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da det(A) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und det(S) = 0 folgt direkt, dass es eine Parabel ist.

Frage: Warum entspricht deine Substitution z = x - y einer 90° Drehung?

2. Nachdem ich, wie eben dargestellt, deinen Ansatz nicht immer verstanden habe, kam ich doch noch zu folgender Lösung:

Drehe y um 45°, also

$\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{s} \begin{pmatrix} 2st-s^{2} \\ 2t^{2}-2st+s^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Führe eine Parametertransformation durch, was in dem Fall nichts anderes wie eine Substitution ist. Setze also

$\begin{eqnarray*} t = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{s}{2} \end{eqnarray*}$

Kann man durch definieren einer Funktion und einer entsprechenden Umkehrfunktion viel formeller formulieren. Unabhängig davon fogt:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{pmatrix} x \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{s}x^{2}-x+\frac{s}{\sqrt{8} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dies ist sicher eine Parabel.

Insgesamt danke für deine Hilfe und es wäre sehr nett, wenn du mir noch eine kurze Antwort auf meine beiden Fragen geben könntest.

Viele Grüße
Erich

18.11.2010, 19:14

Abakus

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Zitat:

Original von Rotationskörper
1. Mit deinem Ansatz komme ich nicht immer klar.
Frage: Warum hast du zunächst quadriert?

Die Idee war, eine algebraische Kurve zu erhalten (nur ganzzahlige Potenzen und Variablen x, y) und diese dann zu klassifizieren. Letzteres hast du gut geschafft ja.

Zitat:

Frage: Warum entspricht deine Substitution z = x - y einer 90° Drehung?

Es ist nur der erste Teil der Koordinatentransformation, und die Skalierung fehlt auch verwirrt

. Ich hätte richtig schreiben müssen:

$\begin{eqnarray*} z_1 := x - y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 := x + y \end{eqnarray*}$ und hier beide rechten Seiten noch normiert mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ . Das entspricht dann deiner Drehmatrix. Und es ist natürlich eine Drehung um 45°.

Grüße Abakus smile

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