Parameterform lösen

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16.11.2010, 13:40	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterform lösen Meine Frage: Ich möchte wissen ob ein gegebener Punkt in einem Dreieck liegt.. Dazu stell ich eine Ecke des Dreiecks in den Ursprung und dann is v1 die koodinate des Punktes und v2 und v3 die basisvekoren in der ebene v1, v2 und v3 ist mir bekannt. r uns s suche ich (um dann mit s >0, r > 0, s+r < 1 zu überprüfen ob der Punkt im Dreieck liegt) Meine Ideen: v1 = rv2 + sv3 Nur weiß ich nicht wie ich die Gleichung löse, da ich 2 unbekannte variablen habe.. Kann mir da einer weiterhelfen?
16.11.2010, 14:42	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
Anders: 0 = rv2x + sv3x - v1x 0 = rv2y + sv3y - v1y 0 = rv2z + sv3z - v1z Kann mir keiner helfen da auf s und r zu kommen?
16.11.2010, 20:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut geht das mit dem Additionsverfahren. (Eliminationsverfahren, Methode der gleichen Koeffizienten) Führe mal ein Zahlenbeispiel vor. mY+
16.11.2010, 20:49	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
omg lol das additionsverfahren.. ka saß heute mittag davor und kam nicht drauf das zu lösen, jz wo ich mir nochmal das verfarhen anschau sieht das so einfach aus :P dumme frage^^
16.11.2010, 21:14	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
weiter gehts double s1 = (AP[0]-AP[1]AB[0]/AB[1])/(AC[0]-AC[1]AB[0]/AB[1]); double s2 = (AP[2]-AP[1]AB[2]/AB[1])/(AC[2]-AC[1]AB[2]/AB[1]); double s3 = (AP[1]-AP[0]AB[1]/AB[0])/(AC[1]-AC[0]AB[1]/AB[0]); double s4 = (AP[2]-AP[0]AB[2]/AB[0])/(AC[2]-AC[0]AB[2]/AB[0]); double s5 = (AP[0]-AP[2]AB[0]/AB[2])/(AC[0]-AC[2]AB[0]/AB[2]); double s6 = (AP[1]-AP[2]AB[1]/AB[2])/(AC[1]-AC[2]AB[1]/AB[2]); double r1 = -(s2AC[0] - AP[0])/AB[0]; double r2 = -(s2AC[1] - AP[1])/AB[1]; double r3 = -(s2*AC[2] - AP[2])/AB[2]; Das ist das Subtraktionsverfahren und da ergeben sich da es 3 werte gibt 6 möglichkeiten für s und wenn man das richtige s hat 3 weitere für r.. Gibt es eine bessere Lösung als jede variable abzufragen obs nen sinnvollen wert hat (heißt nicht infitnity oder NaN :P) oder kann man alle 3 werte voneinander subtrahieren, sodass so eine sichere Zahl rauskommt?
16.11.2010, 21:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man leider nicht gut lesen. Da es ja nur die zwei Variablen r, s gibt, musst du zunächst zwei Gleichungen nehmen und dieses System auflösen. Die beiden Lösungen setzt du nun in die dritte Gleichung ein. Erst dann, wenn in der dritten Gleichung eine Identität zu sehen ist, kann man sagen, das System der drei Gleichungen hat eine Lösung und der Punkt liegt in der Ebene. Andernfalls kann man ohnehin nicht mehr weiterrechnen. Zu Schluss werden die Bedingungen für r, s geprüft, ob denn der Punkt innerhalb des Dreieckes liegt. Übrigens fällt diese Aufgabe auch in das Gebiet der baryzentrischen Koordinaten. mY+
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16.11.2010, 21:47	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} AP[0] \\ AP[1] \\ AP[2] \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} AB[0] \\ AB[1] \\ AB[2] \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} AC[0] \\ AC[1] \\ AC[2] \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wenn ich dafür nun eine allgemeine Formel schreibe, muss ich drauf achten, dass da keine Nullen drin sind, weil ich bei einen Vektor (den ich subtrahieren will) immer divideren und multiplizieren. Da muss ich doch einen Vektor finden, der mindestens 2 Nicht-Null Zahlen hat (Was es bei jedem echten Dreieck gibt) oder nicht? Wenn ich nun das Subtraktionsverfahren auf die ersten beiden (Gleichungen - Reihen - x und y) anwende, dann kommt mit einer gut möglichen Wahrscheinlich keit ein /0 Fehler oder ein NaN-Fehler, da es zu viele Nullen gibt und so auf kein Ergebnis kommt.. so bringt das einsetzen in die dritte Gleichung auch nichts, weil da auch nur Müll rauskommt.. Muss ich nun nach einen Vektor mit 2+ Nicht-Null-Werten suchen und das dann benutzen oder soll ich das anders angehen?
16.11.2010, 22:09	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl das auch schwachsinn ist.. selbst wenn ich ein vektor mit 2+ Nicht-Null-Werten habe bringt mir das nicht immer was.. Da die meisten Dreiecke auf einer Achse liegen, gibt es viele Nullen, mit denen sich sehr schwer eine Formel erstellen lässt.. humm Verstehst du/ihr mein Problem?
17.11.2010, 02:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ware es - wie schon einmal angeregt - wenn du mal ein Zahlenbeispiel nennst bzw. anrechnest? Dann weiss man besser, wovon man redet. mY+
17.11.2010, 08:51	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = r * \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Was weiß ich was alles vorkommen könnte.. sind ja praktisch zufaällige zahlen.. Ich hab nun Schule und frage meinen MatheLehrer.. vielleicht weiß er ja was
17.11.2010, 15:41	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
er kommt auch auf keine allgemeine Formel dafür..
17.11.2010, 20:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Weisst du überhaupt, was du da machst? Deine Gleichungen sind an den Haaren herbeigezogen. Nicht alles ist zufällig Das Beispiel soll doch zu deiner Aufgabe passen! Also wo ist der (in der Dreiecksebene liegende) Punkt, dessen Lage innerhalb des Dreieckes zu prüfen ist? Von dem Dreieck sind die drei Eckpunkte anzugeben. Wie schon beschrieben, können dann zwei von einem Eckpunkt ausgehende Richtungsvektoren verwendet werden. ___________________ Ich gebe dir mal ein konkretes Beispiel: A(2; 1; 2); B(7; 16; -23); C(-1; -2; 8) und der Punkt D(4; 11; -14), dessen Lage bezüglich des Dreieckes bestimmt werden soll.
17.11.2010, 21:43	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun erstmal sind die nicht ganz willkürlich gewählt.. der Punkt liegt da schon auf der Ebene.. aber nungut A(2; 1; 2); B(7; 16; -23); C(-1; -2; 8) Punkt P(4; 11; -14), Zuerst würde ich die Determinante ausrechnen und daher den Abstand des Punktes zur Ebene wissen und wenn der 0 ist (auf der Ebene liegt) dann würd ich das Dreieck zum Ursprung transformieren (also den Punkt A). AB = (5; 15; -25); AC = (-3; -3; 6); AP = (2; 10; -16); Jetzt sind AB und AC die Basisvektoren der Ebene und AP ist der Punkt, der zu bestimmen ist, und auf der Ebene liegt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -16 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -25 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun muss ich auf r und s kommen um zu schaun ob r > 0 && s > 0 && r+s < 1 ist, also ob der Punkt im Dreieck liegt.
17.11.2010, 23:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut hast du das (bis jetzt) gemacht! Jetzt rechne wie beschrieben weiter! mY+
18.11.2010, 06:40	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung ist sehr einfach, da keine 0 vorhanden ist. Daher kann ich beliebig 2 Gleichungen nehmen und das Subtraktionsverfahren anwenden (natürlich nach dem multiplizieren, dass auch eine variable verschwindet :P) Und es wird immer in die dritte Gleichung passen. Mein Problem ist, dass z.B. in den ersten beiden Gleichung zu viele Nullen sind und daher kein Ergebnis erzielt werden kann und sofort die dritte Gleichung benötigt wird, in anderen Fällen aber nicht..
18.11.2010, 23:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Gleichung eine Identität liefert und daher wegfällt, dann braucht dich das doch nicht stören! Im Gegenteil, dann nimm eben die anderen beiden Gleichungen. Dein Problem kann ich konkret erst an Hand eines konkreten Beispieles nachvollziehen. Natürlich können einige Nullen auftreten, aber das Beispiel wird dennoch immer nach der genannten Methode zu einem Ergebnis führen. Auch Sonderfälle, in denen z.B. die Ebene parallel zu einer der Koordinatenachsen ist (wobei dann eine Koordinate wegfällt), ändern nichts daran. Hier ein Beispiel dazu (da kommen schon einige Nullen vor!), welches ebenso gut funktioniert: A(4; 2; 0); B(0; 2; 0); C(0; 2; 6) Punkt P(1; 2; 2) _________________ Wie lautet die Ebenengleichung? Nimm die beiden von B ausgehenden Vektoren BA und BC, dann gibt es eine identische Gleichung, r = 1/4, s = 1/3, und .... ? mY+ mY+
19.11.2010, 21:49	alex93	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal nimm ich BA und BC dass es passt mal AB und AC mal dies mal das.. Das ist eine gute allgemeine Formel Sicher, wenn ich die Vektoren sehe, weiß ich sofort welche Gleichung ich nehmen muss, aber das ist ja nicht der Fall und es ist gut möglich das eine ganze Gleichung (die x koords) immer 0 ist.. Ich fragte heute meinen Physiklehrer und er hatte einmal das gleich problem und sagte, dass es direkt keine allgemeine formel gäbe und das schon "etwas" komplizierter wäre.. da mussman schon jede gleichung nehmen und schaun was sie hergibt und dann daraus entscheiden welche zu nehmen ist.. Nun vielen Danke für deinen Rat - hat mir sehr geholfen. Habe jetzt eine nicht ganz so schöne aber funktionierende Lösung und bin total motiviert jetzt weiter zu machen =) Danke Der 16-jährige Alex =)

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