Verteilungsfunktionen / Dichte

16.11.2010, 15:59

T0b1a5

Verteilungsfunktionen / Dichte

Mahlzeit, hier eine elementare Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine stetig verteile Zufallsvariable mit Riemannscher Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion
$\begin{eqnarray*} x\mapsto F(x)=\underset{-\infty}{\overset{x}{\int}}f(u)du \end{eqnarray*}$

Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X+a \end{eqnarray*}$ besitzt die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto F\left(x-a\right) \end{eqnarray*}$ und eine Riemannsche Dichte u\mapsto f\left(u-a\right).
Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} tX \end{eqnarray*}$ besitzt die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto F\left(\frac{x}{t}\right) \end{eqnarray*}$ und eine Riemannsche Dichte $\begin{eqnarray*} u\mapsto\frac{1}{t}f\left(\frac{u}{t}\right) \end{eqnarray*}$ .

Also die Verteilungsfunktionen konnte ich noch zeigen. Ist einsetzen in die Defintion und ergibt:

$\begin{eqnarray*} F_{X+a}\left(x\right)=P\left(\left\{ X+a\leq x\right\} \right)=P\left(\left\{ X\leq x-a\right\} \right)=F_{X}\left(x-a\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{tX}\left(x\right)=P\left(\left\{ tX\leq x\right\} \right)=P\left(\left\{ X\leq\frac{x}{t}\right\} \right)=F_{X}\left(\frac{x}{t}\right) \end{eqnarray*}$

Nun fehlt mir aber die Idee für die Riemanschen Dichten :\

19.11.2010, 08:24

T0b1a5

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Keiner da?

19.11.2010, 08:30

René Gruber

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Zitat:

Original von T0b1a5
Nun fehlt mir aber die Idee für die Riemanschen Dichten :\

Wie wäre es einfach mit der Ableitung der Verteilungsfunktion nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Natürlich dabei die Kettenregel nicht vergessen - aus Erfahrung denke ich, dass dies das Problem ist. Augenzwinkern

19.11.2010, 13:21

T0b1a5

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Mahlzeit,

ja das ist es. Hatten uns gerade nochmal nach der Vorlesung hingesetzt und es ist ja wirklich nur die Ableitung. Manchmal steht man echt auf dem Schlauch.

Danke, für die Bestätigung smile

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