Punktmenge

16.11.2010, 16:25

Suse_ratlos

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Punktmenge

Ich soll die Menge der Punkte angeben für die gilt X Element R^2 mit:
$\begin{eqnarray*} | X-C |^{2} = | X-A |^{2} + | X-B |^{2} \end{eqnarray*}$

a) für den Fall, dass (A,B,C) ein gleichseitiges Dreieck ist
b) für den Fall, dass (A,B,C) ein gleichschenkliches Dreieck ist mit b=a

Ich habe ehrlich gesagt keinen Plan, wie man das hier überhaupt angeht.
Bitte helft mir daher!

16.11.2010, 16:51

wisili

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RE: Punktmenge
Ich würde nicht mit allgemein-gewählten Punkten beginnen, sondern zunächst ein spezielles Dreieck betrachten, z.B. A=(-1,0), B=(1,0), C=(0,c).

Für a) ist dann c= $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , bei b) ist c ohne Beschränkung der Allgemeinheit beliebig positiv.

Wähle X=(x,y) und formuliere die Abstandsbeziehung als Koordinatengleichung.

16.11.2010, 16:55

Suse_ratlos

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hey, so ganz hilft mir deine antwort nicht weiter,
ich muss doch den allg. fal betrachten!?

16.11.2010, 17:30

wisili

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Ich finde es überflüssig, da das Dreieck hernach immer noch bewegt und gestreckt werden kann (und weil die Abstandsbeziehung ja nicht abhängig vom Koordinatensystem ist).

16.11.2010, 17:31

Suse_ratlos

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Mhm... aber ich hab das doch so zu bestimmen.
Ist immerhin die so gestellte Aufgabe. Ob es nun überflüssig ist oder nicht...

16.11.2010, 19:32

wisili

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Dann mache es doch mit A=(ax,ay), B=(bx,by), C=(cx,cy), X=(x,y) allgemein, wenn du das besser findest. Die Gleichung wird 8 Variablen enthalten.

Du sagtest: «Ich soll die Menge der Punkte angeben...».
Wie stellst du dir das vor?
Ich denke an eine koordinatenfreie Antwort.

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16.11.2010, 20:06

Suse_ratlos

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Hallo,

ich hab dazu so gut wie gar keine Vorstellung. Deswegen such ich hier ja um Rat.
Die Aufgabe lautet nun mal 1 zu 1: "Bestimmen Sie die Menge der Punkte X Element R^2 mit Gleichung (s.o.) für a)... (s.o."

16.11.2010, 20:16

wisili

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Nein, du lässt dich nicht beraten. Obwohl du keine Vorstellung davon hast, in welcher Form du dann antworten willst, wehrst du einen gutgemeinten Einstieg kategorisch mit Verweis auf die Allgemeinheit der Aufgabe ab.

16.11.2010, 20:18

Suse_ratlos

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Natürlich möchte ich mich beraten lassen.

Aber das mit den konkreten Zahlen kann ich ja nicht bringen.... würdest du die Gleichung jetzt also mit "Variablen" auflösen? Kannst du mir das bitte mal vormachen?! Also so in die Richtung, wie du meinst, dass es gehen soll?!

16.11.2010, 20:19

wisili

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Aber das mit den konkreten Zahlen kann ich ja nicht bringen...

Das sagt ja gar niemand. Ich empfahl dir einen Beginn.

Also:

$\begin{eqnarray*} | X-C |^{2} = | X-A |^{2} + | X-B |^{2} \end{eqnarray*}$

Schreibe dasselbe mit Koordinaten. Für a) erhält man:

[attach]16652[/attach]

16.11.2010, 20:24

René Gruber

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Identifiziert man die Punkte mit den zugehörigen Ortsvektoren, so lautet die Ausgangsgleichung

$\begin{eqnarray*} (X-C)^2 = (X-A)^2 + (X-B)^2 \end{eqnarray*}$ .

Das umgestellt erhält man rasch eine Kreisgleichung mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , der sich ergibt, wenn man $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ am Mittelpunkt von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ spiegelt (d.h. $\begin{eqnarray*} ADBC \end{eqnarray*}$ ist dann ein Parallelogramm).

Für den Radius dieses Kreises habe ich allerdings (noch) keine einfache Beschreibung.

16.11.2010, 20:25

Suse_ratlos

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So in etwas?:
$\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} x_{c} \\ y_{c} \end{pmatrix} | ^{2} = | \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} | ^{2} + | \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} | ^{2} \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 20:31

wisili

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@RG
«Für den Radius dieses Kreises habe ich allerdings (noch) keine einfache Beschreibung.»
Das macht gar nichts; die Aufgabe war eine von und für Suse.

16.11.2010, 20:39

René Gruber

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Ja, der Fragesteller ist es, mit dem ich mich unterhalte. Und du kannst natürlich gern auch weiterhin Kommentare dieser Art abgeben, solltest aber wissen, dass ich nach den Erfahrungen der Vergangenheit nichts darauf gebe.

17.11.2010, 09:28

Suse_ratlos

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Heute wurde gesagt, dass das ganze mit dem "Satz von Pappus" zu lösen ist?!

Ich versteh ehrlich gesagt gar nichts mehr...

17.11.2010, 10:25

René Gruber

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Das überrascht mich auch ziemlich, ich sehe da keinen Zusammenhang. Und du bist dir ganz sicher, dass dieser Tipp zu genau dieser Aufgabe hier gehört? verwirrt

verwirrt

17.11.2010, 10:29

Suse_ratlos

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Naja, das wurde mir jetzt so mitgeteilt, Aber vielleicht hat derjenige sich in der Aufgabennummer geirrt...

Mhm, ich verstehe jedenfalls nix. Ich hab ja jetzt die Gleichung als Koordinaten aufgeschrieben.
Kann ich nun das Quadrat mit der Wurzel (ist ja Betrag) kürzen? Und wie geht es dann weiter? Ich mein, wie löst man denn diesen Kram auf?

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