Nullstellen eines Nenners (Koppelschwingung)

16.11.2010, 19:24

tornado123

Nullstellen eines Nenners (Koppelschwingung)

Meine Frage:
Guten Abend!

Es geht um erzwungene Schwingungen eines Koppelschwingers (2 Feder Masse System), wobei die Anregung der Schwingung harmonisch ist:
$\begin{eqnarray*} x_{e} = X_{e} \cos \Omega t \end{eqnarray*}$
Durch Freischneiden oder auch über Energiebetrachtung erhält man folgende Bewegungsgleichungen:
$\begin{eqnarray*} \ddot x_1 + \omega_1^{2}x_1-\mu\omega_2^2x_2=\omega_{10}^2X_e cos \Omega t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \ddot x_2 + \omega_2^{2}x_2-\omega_2^{2}x_1=0 \end{eqnarray*}$

mit dem Ansatz aus der Erregung folgt die Lösung:
$\begin{eqnarray*} <br /> X_1=\frac{\omega_{10}^2\left(\omega_{2}^2-\Omega^2\right)X_e }{\left(\omega_1^2-\Omega^2\right)\left(\omega_2^2-\Omega^2\right) -\mu \omega_2^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> X_2=\frac{\omega_{10}^2\omega_{2}^2X_e }{\left(\omega_1^2-\Omega^2\right)\left(\omega_2^2-\Omega^2\right) -\mu \omega_2^4} \end{eqnarray*}$

So nun zu meinem Problem:

Für eine Vorstellung vom Verlauf der Amplitudenfunktion muss man die Unendlichkeit untersuchen, d.h. die Nullstellen des Nenners finden.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} {\left(\omega_1^2-\Omega^2\right)\left(\omega_2^2-\Omega^2\right) -\mu \omega_2^4}=0 \end{eqnarray*}$

Also hab ich erstmal die Klammer aufgelöst und dann $\begin{eqnarray*} \Omega^2 \end{eqnarray*}$ ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} \Omega^4-\Omega^2\left(\omega_2^2+\omega_1^2\right) +\left(\omega_1^2\omega_2^2-\mu\omega_2^4\right)=0 \end{eqnarray*}$

sieht m.E. nach quadratischer Gleichung aus, aber ich bekomms nicht hin.

Vielen Dank schon mal für lesen.
Ich kann meine falsche Lösung auch reinstellen, wenn ihr wollt.

16.11.2010, 19:59

Funky

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Hallo. Ich nehme mal an, du willst die Nullstellen bezüglich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ haben oder? Dann hast du eine biquadratische Gleichung, d.h. ersetze $\begin{eqnarray*} \Omega^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , löse dann die dadurch entstehende quadratische Gleichung und resubstituiere dann die Ergebnisse.

Grüße

16.11.2010, 20:04

Abakus

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RE: Nullstellen eines Nenners (Koppelschwingung)

Zitat:

Original von tornado123
$\begin{eqnarray*} \Omega^4-\Omega^2\left(\omega_2^2+\omega_1^2\right) +\left(\omega_1^2\omega_2^2-\mu\omega_2^4\right)=0 \end{eqnarray*}$

sieht m.E. nach quadratischer Gleichung aus, aber ich bekomms nicht hin.

Hallo!

Das ist eine biquadratische Gleichung.

Am Besten vereinfachst du zu $\begin{eqnarray*} \Omega^4 - A \Omega^2 + B = 0 \end{eqnarray*}$ und legst damit los.

Grüße Abakus smile

PS: oder eben so wie es Funky schreibt Augenzwinkern

16.11.2010, 20:15

tornado123

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Vielen Dank für die Ansätze!!!

Ich leg gleich mal los und berichte dann.

16.11.2010, 21:24

tornado123

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So meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \Omega_{1,2}^2=\frac{\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right) }{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \left(-\omega_1^2-\omega_2^2\right)^2-\omega_1^2\omega_2^2+\mu\omega_2^4 } \end{eqnarray*}$

Aber im Buch steht die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \Omega_{1,2}^2=\frac{\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right) }{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}\left(\omega_1^2-\omega_2^2\right)^2+\mu\omega_2^4} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man dahin??? Ich hab schon sämtliche Binomischen Formeln hin- und herprobiert...

Haben die den Term $\begin{eqnarray*} \omega_1^2\omega_2^2 \end{eqnarray*}$ einfach weggelassen?

Habt ihr eine Idee für mich?

16.11.2010, 21:41

Funky

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Also ich komme auf
$\begin{eqnarray*} \Omega_{1,2}^2=\frac{\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right) }{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} \left(\omega_1^2+\omega_2^2\right)^2-\omega_1^2\omega_2^2+\mu\omega_2^4 } \end{eqnarray*}$
und das tolle ist, alle 3 Ergebnisse sind gleich smile

(Multipliziere mal den quadratischen Ausdruck unter der Wurzel aus. Die gemischten Ausdrücke lassen sich dann zusammenfassen und auf das ganze kann dann wieder die binomische Formel angewendet werden)

16.11.2010, 21:54

tornado123

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Ging so nicht. Dann hab ich immer noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}\omega_1^2\omega_2^2 \end{eqnarray*}$ übrig.

16.11.2010, 22:05

tornado123

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \left(\omega_1^4+\omega_2^4+2\omega_1^2\omega_2^2\right)-\omega_1^2\omega_2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\omega_1^4}{4}+\frac{\omega_2^4}{4}+\frac{1}{2}\omega_1^2\omega_2^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\left(\omega_1^4+\omega_2^4-\frac{1}{8}\omega_1^2\omega_2^2\right) \end{eqnarray*}$

und nun?

16.11.2010, 22:08

Funky

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$\begin{eqnarray*} {\frac{1}{4} \left(-\omega_1^2-\omega_2^2\right)^2-\omega_1^2\omega_2^2+\mu\omega_2^4 }=(\frac 1 4 \omega_1^4+\frac 1 2 \omega_1^2\omega_2^2+\frac 1 4 \omega_2^4) - \omega_1^2\omega_2^2+\mu\omega_2^4 =(\frac 1 4 \omega_1^4-\frac 1 2 \omega_1^2\omega_2^2+\frac 1 4 \omega_2^4) +\mu\omega_2^4={\frac{1}{4} \left(\omega_1^2-\omega_2^2\right)^2 +\mu\omega_2^4 } \end{eqnarray*}$

/edit: 2/4-1=1/2? Augenzwinkern

16.11.2010, 22:15

tornado123

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vielen vielen dank und gute nacht!!!
Freude

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