grenzwert der nten wurzel aus n

16.11.2010, 20:03

brummschaedel

grenzwert der nten wurzel aus n

Meine Frage:
Guten Abend!
Ich soll den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ für n größer oder gleich 1 berechnen und dafür folgende Ungleichung benutzen:
$\begin{eqnarray*} (a_{1}*a_{2}*a_{2}*...*a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
okay, vielleicht ist das einfach nur völlig bescheuert, was ich mir grade überlege, aber was solls:
wäre dann nicht laut der Ungleichung
$\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}}\leq \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ , also kleiner gleich 1, und da ja gegeben ist, dass n größer gleich 1 sein soll n=1 ? Ich glaub das ist grade völlig falsch, ich seh da nämlich niwo nen limes, aber ich hab nun schon den ganzen tag Mathe gemacht und mir fliegen die Zahlen kreuz und quer durch den Schädel und verhindern jede Art logischen Denkens. Ich bitte um HILFE! =)
Danke!

16.11.2010, 20:12

minizicke1306

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RE: grenzwert der nten wurzel aus n

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}}\leq \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$ , also kleiner gleich 1

Das kann ja nicht stimmen. Setze zB n=4

16.11.2010, 20:29

minizicke1306

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RE: grenzwert der nten wurzel aus n

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Das kannst du auch noch anders schreiben. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} n^2=n*n \end{eqnarray*}$ .
Was bedeutet das nun für $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ? Du kannst n ja in Faktoren einteilen...

16.11.2010, 20:42

ckp

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Erstmal: ich bin nun der angemeldete brummschädel =)
Danke für die antwort!
Okay, soll das dann in die Richtung gehen, dass $\begin{eqnarray*} n^{1/n}= n^{1/2n}*n^{1/2n}= n^{1/4n}*n^{1/4n}*n^{1/4n}*n^{1/4n} \end{eqnarray*}$ usw. =n^0=1 ? Klingt vernünftig. Ich probiermal ob ich dass mathematisch schön aufgeschrieben bekomme und meld mich morgen nochmal, vielen dank !

16.11.2010, 20:50

minizicke1306

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} n^{1/n}= n^{1/2n}*n^{1/2n}= n^{1/4n}*n^{1/4n}*n^{1/4n}*n^{1/4n} \end{eqnarray*}$ usw. =n^0=1

Das ist mathematisch aber gar nicht richtig.
Nach den Wurzelgesetzen würde dann $\begin{eqnarray*} n^{1/2n}*n^{1/2n}=(n^{n})^{1/4n^2} \end{eqnarray*}$ folgen und das ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} n^{1/n} \end{eqnarray*}$ !

Das solltest du also nochmal überdenken

EDIT: zerlege doch einfach mal das n unter der wurzel in ein produkt. Nach den Wurzelgesetzen gilt ja $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 20:53

René Gruber

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RE: grenzwert der nten wurzel aus n

Zitat:

Original von brummschaedel
Ich soll den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ für n größer oder gleich 1 berechnen und dafür folgende Ungleichung benutzen:
$\begin{eqnarray*} (a_{1}*a_{2}*a_{2}*...*a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass du einfach spezielle Werte für $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ wählst, so dass links $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ steht, und rechts was "brauchbares" im Sinne einer Abschätzung für den Grenzwert.

Ersteres muss letzteres nicht beinhalten: So leistet $\begin{eqnarray*} a_1=\ldots=a_{n-1}=1,a_n=n \end{eqnarray*}$ links das gewünschte, aber die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \frac{n-1+n}{n} = 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist zu grob. Also vielleicht eine kleine Modifikation... Augenzwinkern

17.11.2010, 16:24

ckp

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okay, danke!
Ich hab jetzt mal rumgespielt und gesagt, dass, sei n ungerade, gelten soll:
$\begin{eqnarray*} a_{1}=a_{2}=...=a_{(n-1)/2}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n/2}=a_{(n/2)+1}=a_{n-1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n}=n \end{eqnarray*}$
dann hab ich da ja $\begin{eqnarray*} n^{1/n}=n/n \end{eqnarray*}$ , also 1 als abschätzung stehen.
Dann bin ich da her gegangen und habe folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} \forall e>0 \exists n_{0}(e) \forall n\geq n_{0}:|n^{1/n}-1|<e<br /> |n^{1/n}-1|=n^{1/n}-1<e, n\geq 1<br /> \Rightarrow n<(e+1)^{n} \end{eqnarray*}$
Setze $\begin{eqnarray*} n_{0}(e):=(e+1)^{n} \end{eqnarray*}$ für jedes beliebige e>0
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_{0}:<br /> n\leq (e+1)^{n} \Rightarrow n^{1/n}-1\leq e \Rightarrow |n^{1/n}-1|\leq e \end{eqnarray*}$
kann man das so machen ? =)

17.11.2010, 16:49

René Gruber

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Zitat:

Original von ckp
Ich hab jetzt mal rumgespielt und gesagt, dass, sei n ungerade, gelten soll:
$\begin{eqnarray*} a_{1}=a_{2}=...=a_{(n-1)/2}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n/2}=a_{(n/2)+1}=a_{n-1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n}=n \end{eqnarray*}$

Die obige Ungleichung AMGM gilt nur für nichtnegative Werte $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ !!!

So kannst du also nicht einsetzen. unglücklich

17.11.2010, 17:38

ckp

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oh, stimmt ja. okay, aber dann weiß ich nicht wie ich es machen soll, denn auf der rechten Seite der Ungleichung kann ich ja nur auf n/n kommen wenn ich alles andere, was ich addiere, auch wieder subtrahiere. das darf ich allerdings nicht, also kann ich nichts addieren außer der 0. Die darf ich aber wiederum nicht addieren, da ich sonst auf der linken seite der Ungleichung ja 0 rausbekommen würde, anstelle der gewünschten nten wurzel aus n. Steh ich so aufm Schlauch ? :P

17.11.2010, 17:40

René Gruber

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Genau 1 kannst du gar nicht rauskriegen, da die linke (kleinere) Seite ja bereits größer als 1 für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist. Was du suchst, ist eine rechte Seite, die gegen 1 konvergiert!

Ich hatte da an sowas wie $\begin{eqnarray*} a_1=\ldots=a_{n-2}=1,a_{n-1}=a_n=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ gedacht. Augenzwinkern

17.11.2010, 17:50

ckp

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achja, klar, also hät ich rechts ja nachm umformen n/n + 2/wurzel n -2/n, was ja gegen 1 konvergiert. und wenn ich das dann nun als Begründung für meine Vermutung, das nte wurzel gegen 1 konvergiert, dahinschreibe und den Rest so lasse wie schon weiter oben, stimmts ? oder hab ich da noch iwelche Formulierungsfehler drin?
Wirklich schonmal vielen dank, der Übungszettel hier ist echt nichts für mich, ich hoffe wir sind bald mit Folgen durch :P

17.11.2010, 17:53

René Gruber

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Naja, zunächst mal ist das ja nur die Abschätzung nach oben. Erst zusammen mit der allerdings primitiven Abschätzung 1 nach unten kannst du dann mit dem Sandwich-Lemma argumentieren.

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grenzwert der nten wurzel aus n

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