Herleitung der Volumenformel für die Kugel |
| 16.11.2010, 20:27 | MatheSchnell | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Herleitung der Volumenformel für die Kugel die normale formel lautet ja 4/3*PI*r³ wie wurde das hergeleitet bitte einfach |
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| 17.11.2010, 09:51 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Herleitung der Volumenformel für die Kugel es gibt verschiedene herleitungen, vom vergleichskörper des archimedes, der eine kugel mit einem zylinder verglichen hat und das volumen der kugel mit dem des zylinders verglichen hat, es gibt die zerlegung der kugel in pyramieden und es gibt die elegante herleitung der integration... wenn du das mal bei google eingibst denke ich, du wirst was finden.... |
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| 10.12.2010, 23:28 | samsi91 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der eleganteste Weg ist der über das Rotationsvolumen mit Integralansatz. Hierzu braucht man zunächst die Funktionsgleichung für einen Halbkreisbogen im Koordinatenursprung. Diese kann man sich recht leicht mit Hilfe des Pythagoras herleiten. Die Zeichnung ist etwas verzerrt, es handelt sich aber um einen echten Halbkreisbogen. Hierbei handelt es sich um einen HKB mit einem Radius von genau 1, für die Volumenformel muss man aber das r² stehen lassen. Nun folgt der Integralansatz: Man nehme die Grenzen von -r bis r. Durch das Quadrieren der Funktion vor dem eigentlichen integieren fällt schon mal die lässtige Wurzel weg. Es bleibt: Nun integieren wir nach x und erhalten als Integralsfunktion: Setzt man nun die obere Grenze ein und zieht dann die untere ab, erhält man: Nun darf man natürlich nicht das PI vergessen welches, zu dem Interal multipliziert wird! Man erhält schließlich die Volumenbrechnungsformel für eine allgemeine Kugel. |
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