kommutativer Ring

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Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »
kommutativer Ring
hallo,

ich hab die Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring und ein Ideal. Sei das Ideal in R[X], das durch I erzeugt wird:
1. beschreiben sie J im Fall
2. zeigen sie:

zu1. J=(I) oder nicht?

zu2. muss ich dort einen Isomorphismus finden oder geht es einfacher?

Grüße....
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kommutativer Ring
Hi Riemanson,

Zu 1): Du sollst J beschreiben! Also gib am besten an, wie die Elemente aussehen.
Zu 2): Mir fällt nichts einfacheres ein. smile
Wenn Du Dir die Mengen mal richtig aufgeschrieben hast, ist eigentlich klar, wie der Isomoprhismus aussehen muss.
Achte insbesondere auf die Wohldefiniertheit Deiner Abbildung.

Gruß,
Reksilat.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

J soll ja das Ideal sein das durch I erzeugt wird:

also J=(I)=(2Z)=(2)
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll das Ideal sein, das in R[X](!) von I erzeugt wird. In R erzeugt I natürlich sich selbst, aber in R[X] liegt in (I) zum Beispiel auch für jedes drin.

Also:
In R ist
In R[X] ist
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

achso jetzt macht die frage schon mehr sinn für mich! sieht das Ideal dann so aus (2,X)?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Ideal lässt sich immer noch als schreiben, bzw. besser als um den Zusammenhang zu verdeutlichen. Insbesondere ist .
Wie gesagt: schreibe auf, wie die Elemente aussehen.
 
 
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

die elemente sind doch dann polynome, deren koeffizienten gerade sind. also beispielsweise
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!
Wie lässt sich J also im Fall a) schreiben?
Und wie lässt sich J allgemein für beliebige I und R schreiben? (Das ist für b) wichtig.)
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also für a) kann man doch genau wie du es oben geschrieben hast sage
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man. Allerdings ist das weiterhin nicht sehr aussagekräftig. Man sieht nämlich nicht sofort, dass das genau die Polynome mit geraden Koeffizienten sind.
Vielleicht reicht die Aussage "J besteht aus den polynomen, deren koeffizienten gerade sind" ja auch für a).

Für b) solltest Du trotzdem eine allgemeine Darstellung der Menge finden (schon um den isomorphismus sehen zu können). Schreibe J doch mal nach der Art:
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann also nur für a.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Für b) ist es dann auch nicht sehr anders.
Dann musst Du Dir aber auch noch überlegen, wie Die Elemente von aussehen.

Ich bin vorerst ein paar Stündchen weg...

Gruß,
Reksilat.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

für den fall von a sind das doch polynome mit ungeraden koeffizienten oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Da steht auch kein Minus (\), sondern ein /. Gemeint ist hier der Faktorring. Schauen wir uns ja im anderen Thread auch grad an.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

gilt dann: dh. dann
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wir könne oben ziemlich klar sehen, dass J auch Elemente enthält, die nicht in R liegen. Es ist also vollkommen sinnlos, so etwas wie R/J zu betrachten, da es nicht definiert ist.

Übrigens: Wenn ich schreibe, dass ich ein paar Stunden weg bin, dann ist es nicht unbedingt naheliegend, den Thread sofort mit irgendwelchen Einzeilern fortzusetzen. So was ist dann eine Chance, sich ruhig hinzusetzen und alles noch mal zu überdenken.
Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

wir müsen (R/J) betrachten nicht R/J? (was hiervon abgeleitet hab:http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorring)

dann sollte doch die Menge so aussehen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabenstellung steht nirgends etwas von R/J. Und auch auf Wiki wird vorausgesetzt, dass man über dem Strich einen Ring und unter dem Strich ein Ideal dieses Rings stehen hat.
Da ist, kann es ja wohl schwerlich ein Ideal von sein.

unglücklich
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

aber stimmt wenigstens die Menge oder wenigstens in Ansätzen? Gott
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn R/J nicht definiert ist, dann ist auch (R/J) nicht definiert.

Wenn Du J durch ein I ersetzt, dann stimmt die Menge. Allerdings ist diese Schreibweise nicht wirklich hilfreich, da man überhaupt nichts sieht. Vor allem Deine Bezeichnung mit ist nicht sehr anschaulich, da die Elemente von Nebenklassen sind und somit die Form mit haben.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also ich muss dir sagen ich war echt blind! ich meinte doch die ganze zeit I!!! jetzt nochmal von vorn also:

oder kann ma besser schreiben?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das lässt sich auch ohne gut aufschreiben. Augenzwinkern

EDIT: Und nun musst Du natürlich noch hinschreiben.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

gänzlich ohne a? oder nur verändert und

ist
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur ohne . Das ist in Deiner Mengendefinition nämlich redundant.

Und denk doch mal bitte ein wenig nach, bevor Du sofort wieder postest. Vor allem habe ich keine Lust, Dir jeden kleinen Schritt aus der Nase zu ziehen. Versuche doch so aufzuschreiben, dass Du auch gleich eine Funktion siehst, die hier unser Ringisomorphismus werden kann.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also ich würde beide Mengen jetzt so aufschreiben:

diese sehen ja schon sehr ähnlich aus!? und dann jetzt noch den Isomorphismus?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genaugenommen gehört da auch immer noch rein, dass n eine beliebige natürliche Zahl ist, da der Grad der Polynome ja beliebig sein kann.

Und ja, jetzt suchen wir den Isomorphismus.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt das n war schon fast vergessen Augenzwinkern

nun zum Isomorphismus, der mir nicht gleich ins Auge springt. Ich muss eine solche Abbildung finden

J ist ja das durch I in R[X] erzeugte Ideal gilt dann
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson

Das ist Quatsch. Oben ist es besser geschrieben. Die Abbildung springt einen eigentlich direkt an.

Zitat:
J ist ja das durch I in R[X] erzeugte Ideal gilt dann

Das ergibt keinen Sinn.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also aber was mache ich mit dem J einfach mit dazu addieren?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du siehst doch oben genau, wie die Elemente Deiner beiden Mengen aussehen. Genau so müssen sie auch in der Vorschrift aussehen.
Worauf wird also abgebildet?
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

auf
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn sein? verwirrt
Du hast hier nur und Deine zur Verfügung, um das Bild für zu konstruieren.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ich könnte ersetzen, da beide in R. Ich muss dann ja aber noch das + J konstruieren und das nur aus verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

J steht doch schon fest. Das existiert hier immer und ist immer gleich. Das musst Du nicht erst konstruieren.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

wie wäre es mit der identischen Abbildung?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente in beiden Mengen sind offensichtlich von vollkommen unterschiedlicher Struktur. Eine identische Abbildung gibt es hier nicht.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

okay du sagtest J existiert und muss nicht extra erzeugt werden dan müsste doch folgendes gehen:

Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

So kannst Du Deine Abbildung definieren. Freude
Jetzt ist erst mal wichtig, dass Du die Wohldefiniertheit untersuchst. Schließlich rechnest Du in Nebenklassen und insofern ist das nicht eindeutig.

Sei dazu , mit .
Seien außerdem mit für .
Dann ist ja .

Nun musst Du zeigen, dass auch das Bild der beiden gleich ist, denn zwei gleiche Elemente müssen auch das gleiche Bild haben. Ansonsten ist Deine Abbildungsvorschrift nämlich nicht sinnvoll.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also:

da ja

und dann ist ja



danach sollten die Bilder ja gleich sein. Aber gilt denn so einfach:

?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
Aber gilt denn so einfach:
?

Natürlich nicht! böse

Es kann doch nicht sein, dass Du Dich in einer Algebra-Vorlesung mit diesem Stoff beschäftigst, ohne überhaupt eine Ahnung von Nebenklassen zu haben.
Normalerweise beschäftigt man sich schon in der LA mit Faktorräumen und sollte spätestens in der Algebra zumindest soweit sein, dass man weiß, dass zwei Nebenklassen gleich sein können, auch wenn man unterschiedliche Vertreter wählt.

Auch Modulorechnung sollte schon mal aufgetaucht sein. Das funktioniert so ähnlich. Auch da ist falsch.

Ein Fehler kann einem natürlich immer unterlaufen und man kann bei solchen Abbildungen die Wohldefiniertheit auch mal vergessen. Aber wenn Du Dir die oben gestellte Frage nicht mal selbst beantworten kannst, dann ist diese Aufgabe einfach zu viel für Dich.

...und für mich zu viel Arbeit. Ich bin eh erst mal off...

Gruß,
Reksilat.
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