Direkte Summe von K a und Kern lambda

17.11.2010, 12:03

Trixter

Direkte Summe von K a und Kern lambda

Meine Frage:
Sei V ein Vektorraum ueber K und 0 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \gamma \in \end{eqnarray*}$ V*. Fuer jedes a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V mit $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 gilt
V = K a $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ Kern $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Kann das denn klappen?
Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.
Ker ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ K a = {0} kann ja nicht gehen, da ja $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 gilt.
Oder seh ich da etwas falsch?

17.11.2010, 17:15

Reksilat

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RE: Direkte Summe von K a und Kern lambda
Hi Trixter,

Zitat:

Ker ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ K a = {0} kann ja nicht gehen, da ja $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 gilt.

Wieso? Doch, die Aussage stimmt schon.
Wie sehen Elemente aus $\begin{eqnarray*} K\cdot a \end{eqnarray*}$ aus? Wie werden diese unter $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ abgebildet?

Gruß,
Reksilat.

17.11.2010, 18:22

Trixter

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V* ist ein Dualraum, also $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ : V -> K
Dann wird doch jedes a auf irgend ein Element aus K abgebildet, wenn ich das richtig verstanden hab.

17.11.2010, 18:43

Reksilat

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Die Definition ist mir durchaus klar. Was kannst Du aber hier über das Bild von $\begin{eqnarray*} k\cdot a \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k\in K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ aussagen?

17.11.2010, 18:45

Trixter

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Dass a = 0 ist.

Edit: Wenn das hier gelten soll: Ker ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ K a = {0}

17.11.2010, 18:51

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung und $\begin{eqnarray*} \gamma(a)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Das einzige was wir über a mit Sicherheit aussagen können ist, dass es nicht Null ist.

Zitat:

Original von Trixter
Edit: Wenn das hier gelten soll: Ker ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ K a = {0}

Oben hast Du noch behauptet, dass das nicht gelten kann (und dafür nicht mal eine Begründung angegeben). Entscheide Dich doch bitte mal, was Du jetzt überhaupt zeigen möchtest, denn sonst reden wir aneinander vorbei.

17.11.2010, 19:03

Trixter

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Ok nochmal:
Sei V ein Vektorraum ueber K und 0 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \gamma \in \end{eqnarray*}$ V*. Fuer jedes a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V mit $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 gilt
V = K a $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ Kern $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Das will ich zeigen oder widerlegen.

Aber wieso stimmt denn die Aussage:
Ker ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ K a = {0} ?

Kern von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ heißt doch dass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) auf 0 abgebildet wird, aber $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0. Wie soll denn das gehen.

Ich glaub ich hab gerade voll den Brainfail -.-

17.11.2010, 19:05

Reksilat

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Zitat:

Original von Trixter
Kern von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ heißt doch dass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ (a) auf 0 abgebildet wird

Das ist Quatsch! Kern( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) ist keine Aussage und kann also gar nichts heißen. Dein Satz ergibt also gar keinen Sinn.

Der Kern ist die Menge aller Elemente, die auf Null abgebildet werden. Da a nach Voraussetzung nicht auf Null abgebildet wird, liegt a auch nicht im Kern.

17.11.2010, 19:14

Trixter

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Ok, dann hab das falsch verstanden.
Und wie kann ich das da Oben jetzt nachweisen?

Muss ich das hier zeigen:
1. Ker ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ K a = {0}
2. $\begin{eqnarray*} V \subseteq \end{eqnarray*}$ Ker(f) + Ka
?

17.11.2010, 19:17

Reksilat

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Ja, das ist genau das, was Du zeigen musst.
(Und meinetwegen kannst Du das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ auch gerne weiterhin f nennen. Augenzwinkern

)

Bin aber vorerst für ein paar Stündchen weg...

Gruß,
Reksilat.

17.11.2010, 19:19

Trixter

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Ok, danke für deine Hilfe Reksilat Augenzwinkern

.
Ich glaub ich habs jetzt raus.

MfG Trixter

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