Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen |
| 17.11.2010, 12:04 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Hallo, folgende Frage: Man habe zwei Geraden, die eine durch die Punkte P1 (1/2) und P2 (-3/-1) definiert und die zweite durch die Punkte P3 (3/4) und P4 (6/4)definiert. Es soll eine ganzrationale Funktion f gefunden werden möglichst kleiner Ordnung, welche den Überganhgsbogen zwischen den beiden Geraden darstellt, dabei soll an den Anschlussstellen kein "Knick" vorhanden sein. Zweite Frage: Die Funktion g soll an den Anschlussstellen in der ersten und zweiten Ableitung mit der Halbgeraden übereinstimmen. Es soll die Funktion g bestimmt werden. Meine Ideen: Ansatz für f: Ann.: f(x)= ax^2+ bx + c f'(x)=2ax+b Die Bedingungen sind: f(1)=2, f(3)=4 und die "Knickbedingung" f'(3)=0 -->a+b+c=2, aus f(1)=2 (I.) -->9a+3b+c=4, aus f(3)=4 (II.) -->6a+b=0, aus f'(3)=0 (III.) II.-I. liefert 8a+2b=2 (IV.) aus III. --> b=-6a (V.) V. in IV. --> 8a-12a=2 --> a=-0,5 Ergebnis einsetzen in V. liefert b=3 a und b einsetzen in I. liefert c=-0.5 Das müsste die Lösung sein. Mein Problem liegt jetzt eher in der zweiten Frage mit der Halbgeraden. Was muss ich da machen? |
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| 17.11.2010, 12:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen
Gibt es am Punkt P1 keinen Knick? |
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| 17.11.2010, 12:47 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Die Gerade an Punkt P1 ist nicht waagerecht, sodass man da die Steigung der Geraden nicht wissen kann, oder sehe ich das falsch. Außerdem reichen die 3 gegebenen Bedinungen doch aus ,um eine Funktion herzuleiten... |
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| 17.11.2010, 12:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen
So? Du hast 2 Punkte der Geraden, also kennst du auch deren Steigung.
Wenn es so ist, reichen auch 2 Bedingungen (nämlich Verbindung von P2 und P3). Doch ist schließt so eine Funktion knickfrei an diesen Punkten an? |
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| 18.11.2010, 08:59 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Ich nehme meine Bemerkung zurück. Das stimmt natürlich. Die Frage ist dennoch, ob die Lösung, wie ich sie geschildert habe richtig ist? Und mit der zweiten Frage bin ich leider auch noch nicht weitergekommen... |
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| 18.11.2010, 09:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Nein. Denn du hast am Punkt P1 immer noch einen Knick. Bei der 2. Frage hast du zusätzlich zu den Bedingungen aus Teil 1 noch Bedingungen aus der 2. Ableitung zu erfüllen. |
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| 18.11.2010, 12:55 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Also habe ich eine Funktion 3. Grades der Form: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d f'(x)=3ax^2+2bx+c f''(x)=6ax+2b mit den Bedingungen: f(1)=2, f(3)=4, f'(1)=3/4 und f'(3)=0 (I.) a + b + c + d = 2 aus der ersten Bedingung (II.) 27a + 9b + 3c + d = 4 aus der zweiten Bedingung (III.)12a + 8b + 4c = 3 aus der dritten Bedingung (Die Gleichung mal 4 genommen) (IV.) 27a + 6b + c = 0 aus der vierten Bedingung (II.)-(I.) --> 26a + 8b + 2c = 2 (V.) Dann arbeite ich nur noch weiter mit: (IV.) 27a + 6b + c = 0 (III.)12a + 8b + 4c = 3 (V.) 26a + 8b + 2c = 2 (III.) - 4*(IV.) --> -96a - 16b = 3, oder 96a + 16b = -3 (VI.) (V.) - 2*(IV.) --> -28a - 4b = 2, oder 28a + 4b = -2 (VII.) Es bleibt: (VI.) 96a + 16b = -3 (VII.)28a + 4b = -2 ------------------------------------------------------ (VI.) - 4*(VII.) --> -16a = 5 --> a = -5/16 a in (VII.) --> 28*(-5/16) + 4b = -2 --> -35/4 + 4b = -2 --> 4b = 27/4 --> b = 27/16 a und b in (IV.) --> 27*(-5/16) + 6*(27/16) + c = 0 --> -135/16 + 162/16 + c = 0 --> 27/16 + c = 0 --> c = -27/16 a, b und c in (I.): --> -5/16 + 27/16 -27/16 + d = 2 --> -5/16 + d = 2 --> d= 37/16 Die Funktion lautet somit: f(x) = (-5/16)x^3 + (27/16)x^2 - (27/16)x + (37/16) Sieht zwar nicht berauschend aus, aber immerhin ein Ergebnis... Korrekturvorschläge willkommen |
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| 18.11.2010, 13:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Zumindest rein optisch scheint es zu stimmen: |
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| 18.11.2010, 21:49 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Könnt ihr mir dann vielleicht noch in Sachen 2. Frage behilflich sein. Was ist mit Halbgerade gemeint? Hat eine Gerade nicht eine Steigung? Wie kann diese dann in 2 Punkten die selbe Steigung haben wie f? |
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| 19.11.2010, 08:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen
Halbgerade ist das Geradenstück bis zum Anschlußpunkt.
Es geht - wie ich schon sagte - darum, daß die Verbindungsfunktion und die Geraden an den Anschlußstellen in der 1. und 2. Ableitung übereinstimmen. |
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| 19.11.2010, 12:41 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Also quasi Funktion 5. Grades mit 6 Bedingungen. Den ersten 4 plus zusätzlich noch den beiden Bedingungen für die Anschlusspunkte...Richtig?? |
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| 19.11.2010, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Richtig. Wobei du noch die Frage beantworten mußt, was die 2. Ableitung bei einer Geraden ist. 
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| 19.11.2010, 13:46 | Drago | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Bestimmung einer Funktion mit bekannten Randbedingungen Dann danke für euer aller Hilfe. Thema hat sich erledigt... |
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