beweise kombinatorik

17.11.2010, 14:35	grr	Auf diesen Beitrag antworten »
beweise kombinatorik Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der herleitung folgender formel: n+1 über k+1 = (n über k) + (n über k+1) ich wäre über eine antwort dankbar! Meine Ideen: ich hatte das ganze schon umgeschrieben und irgendwie versucht umzustellen , war nicht erfolgreich^^
17.11.2010, 15:16	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Beweis kann man ziemlich direkt führen. Wir schreiben einfach mal die RECHTE Seite der Behauptung hin: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und das lösen wir jetzt gemäß der Definition der Binomialkoeffizienten auf $\begin{eqnarray} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \end{eqnarray}$ Na ... und nun bilden wir den Hauptnenner der beiden Brüche und addieren die Zähler ... Und wenn man das richtig macht und dann genau hinschaut, dann steht da auch schon die LINKE Seite der Behauptung ...
17.11.2010, 15:37	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
hey vielen dank! unser lehrer hatte uns nen ansatz gegeben, wo wir das ganze erstmal +1 gerechnet haben, da bin ich hängen geblieben. ich habs nach deiner anleitung probiert gemacht: n! (k+1)! (n-k-1)! + n! (n-k)! k! / k! (n-k)! (k+1)! (n-k-1)! wie ich da jetzt kürzen kann etc. ist mirnicht ganz klar...
17.11.2010, 15:47	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja ... viele Wege führen nach Rom .... man kann die Aufgabe auf verschiedene Weise lösen. Bleiben wir mal bei meiner Version ... Du hast ein bissel zu wuchtig erweitert. $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \end{eqnarray}$ Wir erweitern den ersten Bruch mit (k + 1) und den zweiten Bruch mit (n - k) $\begin{eqnarray} = \frac{n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)} \end{eqnarray}$ Jetzt beachtest du, dass k!(k + 1) = (k + 1)! ist und dass (n - k - 1)!(n - k) = (n - k)! ist Tja ... und dann sollte der Rest ein Kinderspiel sein ...
17.11.2010, 17:34	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
juhu, jetzt sind wir dem ganzen ein stückchen näher^^ also den zweiten summanden hab ich wie folgt gekürzt: n!/ (k+1)! beim ersten weiß ich nicht, was mi der austausch bringen soll, weil ich es nicht kürzen kann, weil ich oben den ausdruck nicht als fakultät habe. ich kriegs höchstens auf n! / (n-k)k! gekürzt, womit ich jedoch nichts anfangen kann. man das ist so ne tolle seite, wirklich nett zu helfen!!!
17.11.2010, 18:15	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst du denn dauernd kürzen? Wir haben doch den Ausdruck gerade erst erweitert ... $\begin{eqnarray} = \frac{n!(k+1)}{k!(n-k)!(k+1)} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)} \end{eqnarray}$ Jetzt beachten wir im Nennen des ersten Summanden, dass k! * (k + 1) = (k + 1)! ist ... $\begin{eqnarray} = \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!(n-k)} \end{eqnarray}$ Nun beachten wir im Nenner des zweiten Summanden, dass (n - k - 1)! * (n - k) = (n - k)! ist ... $\begin{eqnarray} = \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Na, und jetzt stellen wir verblüfft fest, dass die Nenner der beiden Summanden gleich sind. Man kann sie also auf einen Bruchstrich schreiben ... Und wenn du jetzt noch den Zähler geschickt vereinfachst, dann bist du am Ziel ...
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17.11.2010, 19:51	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
omg, du bist ein held! ich habs danke, war 'ne schwere geburt^^

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