lim von (1+1/n^2)^n

17.11.2010, 16:56

Kugelbert

lim von (1+1/n^2)^n

Hallo Leute,

es geht um

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n^2})^n \end{eqnarray*}$

Meine Idee war erst das Sandwich Lemma zu verwenden, allerdings fällt mir keine Folge ein, die für alle n größer ist und gegen den selben Grenzwert (1) läuft.
Andere Anläufe mit faktorisieren und ausklammern lieferten auch kein brauchbares Ergebnis.
Daher meine Frage an die Mathe Pro's unter Euch, ob ihr mir einen Tip für die Lösung der Aufgabe geben könnt.

Dank & Gruß,
Kugelbert

17.11.2010, 17:14

IfindU

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RE: lim von (1+1/n^2)^n
Die eine Abschätzung funktioniert mit Bernoulli, die andere wüsste ich spontan auch nicht.

17.11.2010, 17:17

gonnabphd

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Hi,

Du könntest es wie folgt versuchen:

$\begin{eqnarray*} 1\le \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n = \left(1+\frac{1/n}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Nun wird der Zähler auf der rechten Seite irgendwann kleiner als jedes beliebige $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ sein. D.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{1/n}{n} \le \frac{\epsilon}{n} \end{eqnarray*}$

für genügend grosse n. Damit kannst du ein Sandwich machen, und anschliessend ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig war.

17.11.2010, 17:37

René Gruber

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Die andere Richtung geht auch mit Bernoulli, und zwar bezogen auf das Reziproke:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n} = \left(1-\frac{1}{n^2+1}\right)^n \geq 1-\frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

17.11.2010, 19:01

Kugelbert

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Der Kehrwert geht doch in die selbe Richtung wie Bernoulli (nämlich nach unten). Ich brauch aber noch was, was von oben kommt. Nach unten kann ich ja auch einfach 1 nehmen.

17.11.2010, 19:29

Manni Feinbein

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Um die Verwirrung perfekt zu machen, hier ein weiterer möglicher Ansatz:

Es sollte bekannt sein, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1{n^2}\right)^{n^2}=e \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\frac 1{n^2}\right)^{n^2}} \end{eqnarray*}$

ist dann eigentlich alles klar - oder?

17.11.2010, 19:45

René Gruber

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Zitat:

Original von Kugelbert
Der Kehrwert geht doch in die selbe Richtung wie Bernoulli (nämlich nach unten).

Und was passiert, wenn du das Reziproke dieser Ungleichung nimmst?

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n \leq \frac{1}{1-\frac{n}{n^2+1}} \end{eqnarray*}$

Dann hast du eine Abschätzung nach oben! Dass einige immer erst schreiben bevor sie mal nachdenken... unglücklich

17.11.2010, 21:42

Kugelbert

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Jawoll! So geht das! Freude

Sry aber denken ist nich so meine Stärke Hammer

aber nach diesem Hinweis habe sogar ich es verstanden Wink

Wobei der Ansatz von Manni natürlich noch ne Ecke cooler is, weil weniger zu schreiben ist.

Trotzdem danke für eure Hinweise.

LG,
Kugelbert

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