holomorphe Funktionen

17.11.2010, 17:21

Gasti

holomorphe Funktionen

Hallo,

ich soll zeigen, dass eine überall holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ konstant ist, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} Re(f(z))=c. \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} |f(z)|=c. \end{eqnarray*}$

Für den ersten Fall würde ich so argumentieren: man hat eine Funktion: $\begin{eqnarray*} f(z)=c+i\cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$ . Damit diese überall holomorph ist müssen die CRD für alle x,y erfüllt sein. Das heißt, v darf weder von x, noch von y abhängen, muss also folglich konstant sein. Nur wie kann ich das jetzt Mathematisch formulieren?

Zum zweiten Fall habe ich leider keine Idee.

17.11.2010, 18:44

system-agent

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Deine Idee ist gut. Nun weisst du, dass $\begin{eqnarray*} f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$ und du weisst, dass $\begin{eqnarray*} u(x,y)=c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . Wegen Cauchy Riemann muss
$\begin{eqnarray*} u_x=v_y \end{eqnarray*}$ gelten. Aber $\begin{eqnarray*} u_x=0 \end{eqnarray*}$ , also welche Form kann $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ noch haben?

17.11.2010, 18:54

Gasti

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Nach der 1. CRD kann v nur diese Form haben: $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ . Die 2. CRD sagt ja aber , dass
$\begin{eqnarray*} u_y=-v_x \end{eqnarray*}$ . Laut dieser kann v nur diese Form haben: $\begin{eqnarray*} v(y) \end{eqnarray*}$ , was ja aber ein Widerspruch zur 1. Gleichung wäre.

17.11.2010, 18:57

system-agent

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Ja, es muss $\begin{eqnarray*} v(x,y)=h(x) \end{eqnarray*}$ sein mit einer gewissen Funktion $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .
Mit der anderen DGL kommst du auf $\begin{eqnarray*} -v_x=0 \end{eqnarray*}$ und was sagt das über $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ? Beachte, die DGL sagt nur, dass die Ableitung verschwindet.

17.11.2010, 19:02

Gasti

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Also das würde bedeuten, das $\begin{eqnarray*} h(x)=c. \end{eqnarray*}$ , wenn du das meinst.

17.11.2010, 19:12

system-agent

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Ja, auch wenn das nicht das gleiche $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wie in der Aufgabe sein muss.

18.10.2011, 14:57

Gast1298

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hat denn auch jemand eine idee für |f(z)|=c?

18.10.2011, 15:04

Schwacher Stern

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Kennst Du den Satz von Liouville? Der liefert das sozusagen gratis...

18.10.2011, 15:08

Gast1298

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den kenn ich, aber den hatten wir in dieser vorlesung noch nicht. deswegen denke ich, dass wir den wohl leider nicht benutzen dürfen, aber was anderes fällt mir auch nicht ein unglücklich

18.10.2011, 15:16

Leopold

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RE: holomorphe Funktionen

Zitat:

Original von Gasti
... dass eine überall holomorphe Funktion ...

Auch wenn es beckmesserisch erscheinen mag: Wichtig ist hier, was "überall" bedeuten soll. In ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ? Im gesamten Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Im ersten Fall stimmt die Aussage nämlich, im zweiten wäre sie falsch. Man braucht zum Beweis auf jeden Fall den Zusammenhang des (offenen) Definitionsbereichs, mithin also daß der Definitionsbereich ein Gebiet ist.

18.10.2011, 15:22

Gast1298

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richtig, es handelt sich um ein gebiet. das hätte ich erwähnen sollen^^

18.10.2011, 15:37

Leopold

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Für die zweite Aussage könnte man $\begin{eqnarray*} |f|^2 = u^2 + v^2 \end{eqnarray*}$ untersuchen. Oder man definiert lokal mit einem Zweig $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ des Logarithmus die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(z) = \log f(z) \end{eqnarray*}$

und wendet darauf die bereits bewiesene erste Aussage an. (Das geht natürlich nur für $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber für $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist ja sowieso alles klar.) So kommt man zwar zunächst nur auf die lokale Konstanz. Wegen des Zusammenhangs folgt daraus aber wieder die globale Konstanz.

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