Induktionsbeweis für Determinante

17.11.2010, 17:26	GoldieR	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis für Determinante Ich soll die Determinante der folgenden Matrix durch Induktion berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 & & \\ -1 & 2 & -1 & \\ & -1 & ... & &\\&&&...&& \\& & & & 2 & -1 \\& & & & -1 &2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe durch berechnen an einigen Beispielen gesehen, dass die Determinante n+1 sein muss. Nun möchte ich es per Induktion beweisen. Im Induktionsschritt erhalte ich aber: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_{n+1xn+1} \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} a_{nxn} \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} a_{n-1xn-1} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich hier nun annehmen, dass ich die Determinante $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_{n-1xn-1} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ kenne?
17.11.2010, 17:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Induktionsanfang für n=1 und n=2 machst darfst du annehmen dass du beide kennst
17.11.2010, 17:53	GoldieR	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich habs jetzt so gemacht: zu zeigen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_{n+1xn+1} \end{vmatrix} = n+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_{n+1xn+1} \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} a_{nxn} \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} a_{n-1xn-1} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich einfach eingesetzt: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_{n+1xn+1} \end{vmatrix} = 2(n+1)- ((n-1) + 1) = n+2 \end{eqnarray}$ Ist es möglich, dass es so einfach geht, oder habe ich was vergessen?

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