Träger von Funktionen

17.11.2010, 17:56

eisley

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Träger von Funktionen

Hallo zusammen!

wir haben in der Vorlesung gerade angefangen, die $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p \end{eqnarray*}$ -Räume zu besprechen..
nun sollen wir selbständig ein wenig Theorie erarbeiten und ich bin bei den Trägern zu Funktionen stecken geblieben..

Man muss Träger finden zu den Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f:\chi_{\mathbb Q}: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^n c_kx^k ; c_0, c_1, ..., c_n \in \mathbb C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f= g_+, g(x) = sin(\frac{1}{x}), x \neq 0 ; 0, x=0 \end{eqnarray*}$

a) ist ja noch relativ trivial, bin mir aber trotzdem nicht sicher:

also $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ ist ja die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .. es ist bekannt

$\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb Q}(x) = 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb Q}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} supp(f) = \mathbb R \end{eqnarray*}$ , da der Träger von f der Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein muss.

..kann mir da jemand helfen? ich hab keine Ahnung, wie ich an eine solche Aufgabe ran gehen soll.. unglücklich

unglücklich

vielen lieben Dank !!

eisley

17.11.2010, 18:41

system-agent

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Ja, das erste ist OK.

Zum zweiten:
Wo soll denn dieses Polynom überhaupt definiert sein? Vielleicht $\begin{eqnarray*} \mathbb C\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

17.11.2010, 18:41

eisley

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..oh ja, sorry! das ist mit untergegangen.. das ganze ist $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

17.11.2010, 18:45

system-agent

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Das wesentliche am Träger sind mal die Stellen zu finden, an denen die Funktion nicht verschwindet. Wo kann denn so ein Polynom nur verschwinden? Kann das zb. auf einer ganzen Kreisscheibe sein? Oder auf einem Stück einer Geraden?

17.11.2010, 19:02

eisley

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dieses Polynom verschwindet genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_i = 0, i=1, 2, ....n \end{eqnarray*}$ ist..

aber ich kann mir das nicht wirklich vorstellen. unglücklich

unglücklich

17.11.2010, 19:15

system-agent

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In $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ? Nein, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ verschwindet nicht in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , ist aber solch ein Polynom.

Nehme zuerst einmal an, dass alle $\begin{eqnarray*} c_k=0 \end{eqnarray*}$ sind, also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist das Nullpolynom. Was hat dieses für einen Träger?

Dann nehme an, dass $\begin{eqnarray*} c_n\neq0 \end{eqnarray*}$ , also du hast ein "wirkliches" Polynom. Nun wieviele Nullstellen hat so ein Ding in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

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17.11.2010, 19:29

eisley

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Im Fall $\begin{eqnarray*} f := \end{eqnarray*}$ Nullpolynom ist der Träger die Nullmenge.. oder?

$\begin{eqnarray*} c_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ : diese Funktion hat n komplexe Nullstellen. und diese definieren einen Kreis in der komplexen Ebene?

17.11.2010, 19:32

system-agent

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Zitat:

Original von eisley
Im Fall $\begin{eqnarray*} f := \end{eqnarray*}$ Nullpolynom ist der Träger die Nullmenge.. oder?

Ja, denn die Menge an denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von eisley
$\begin{eqnarray*} c_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ : diese Funktion hat n komplexe Nullstellen. und diese definieren einen Kreis in der komplexen Ebene?

Nein, wieso denn einen Kreis? Du verwechselst das mit dem zyklotomischen Polynom $\begin{eqnarray*} X^n-1 \end{eqnarray*}$ . Aber es stimmt, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Nullstellen hat [mit Vielfachheiten gezählt]. Wieso ist dann die Menge $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb C\,\,:\,\, f(x)=0\} \end{eqnarray*}$ diskret in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ? Was ist also der Abschluss von deren Komplement [=Träger]?

17.11.2010, 19:58

eisley

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ich sehe nicht, warum die Menge diskret in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ liegt .. traurig

traurig

17.11.2010, 20:15

system-agent

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Sie ist sicher mal endlich. Nämlich höchstens enthält sie $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte. Also kann es auch kein Häufungspunkt geben, denn dieser würde bedeuten, dass man in jeder Umgebung einer Nullstelle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ immer wieder eine Nullstelle ungleich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ findet. Das würde aber heissen dass es unendlich viele geben muss.

17.11.2010, 20:21

eisley

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ach na klar.. danke!

..auf den Abschluss komm ich noch nicht. Kann mit der Definition und der hier gestellten Aufgabe nicht so richtig was anfangen.. bzw. ich kann die Teile wohl nicht richtig zusammensetzen..

17.11.2010, 20:27

system-agent

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Naja, nun weisst du, dass die Menge aller Punkte, für die die Funktion ungleich Null ist die ganze komplexe Ebene ist, mit Ausnahme von ein paar Punkten.
Was ist also der Abschluss davon?

Nutze, dass eine abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ alle Grenzwerte von Folgen in der Menge enthalten muss, also falls $\begin{eqnarray*} (x_l) \end{eqnarray*}$ eine Folge von Elementen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist die konvergiert, dann muss auch der Grenzwert in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.

Nun betrachte zb. die Folge $\begin{eqnarray*} (p+\frac{1}{n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle sein soll. Grenzwert? Ergo?

17.11.2010, 20:37

eisley

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der Grenzwert von deiner gegebenen Folge ist für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ doch genau p.

..ach wenn ich mal auf dem Schlauch steh, dann aber grad so richtig !! verwirrt

verwirrt

17.11.2010, 20:40

system-agent

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Ja, der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Nun hast du also zu jeder Nullstelle eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gefunden die gegen die Nullstelle konvergiert und diese Folge kann man immer so einrichten, dass $\begin{eqnarray*} f(x_n)\neq0 \end{eqnarray*}$ ist, also in der Menge liegt die wir "abschliessen" wollen.

17.11.2010, 20:42

eisley

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d.h. mein gesuchter Abschluss ist die Menge all dieser Folgen?

17.11.2010, 20:44

system-agent

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Lies nochmal durch was ich vorher geschrieben habe.

17.11.2010, 20:46

eisley

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uh - genau umgekehrt. der gesuchte Abschluss ist das Komplement der Menge all dieser Folgen. geschockt

geschockt

18.11.2010, 11:38

system-agent

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Nehmen wir die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{x\in\mathbb C\,\,:\,\, f(x)\neq0\}\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ . Wenn du den Abschluss dieser Menge gefunden hast, ist das genau der gesuchte Träger.

Nun wir haben schon eingesehen dass das fast die ganze komplexe Ebene ist, bis auf ein paar einzelne Punkte. Nun weisst du sicherlich, dass der Abschluss $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ sicher mal $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält. Also sicher alle komplexen Zahlen die nicht die Nullstelle sind.
Ausserdem muss $\begin{eqnarray*} \overline{M}\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ sein.
Die ganze Frage ist nun, ob die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also die einzelnen Punkte, auch zu $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ gehören oder nicht.

Ich habe dir als Hinweis gegeben:
Falls man eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in einer abgeschlossenen Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat, dh also $\begin{eqnarray*} x_n\in A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und wenn diese Folge nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann muss auch $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ gelten.

Siehst du es nun?

18.11.2010, 13:50

eisley

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ja der Träger ist ganz einfach $\begin{eqnarray*} supp(f) = \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

18.11.2010, 14:00

system-agent

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Ja, genau.

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