Das Cantor`sche Diskontinuum

15.11.2006, 17:18	keine Idee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Cantor`sche Diskontinuum Hallo, ich soll die folgende Aufgabe lösen und habe keine Idee. Es seien $\begin{eqnarray} C_0=[0,1] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C_1=C_0 \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} (\frac{1}{3},\frac{2}{3}) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C_2=C_1 \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} ((\frac{1}{9},\frac{2}{9})\bigcup(\frac{7}{9},\frac{8}{9})) \end{eqnarray}$ , etc. D.h. für jedes $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ entsteht $\begin{eqnarray} C_{n+1} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ durch weglassen der offenen mittleren Drittel aller $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Intervalle, deren Vereinigung $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ ist. Der Durchschnitt $\begin{eqnarray} C=\bigcap\limits_{n \in \mathbb N} C_n \end{eqnarray}$ heißt das Cantor´sche Diskontinuum. Verifizieren Sie die folgenden drei Eigenschaften von C. (i) C ist kompakt (ii) das Innere von Cist leer (iii) C ist überabzählbar Danke für Eure Tipp´s. edit (AD): Diverse LaTeX-Fehler korrigiert.
15.11.2006, 17:37	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu iii) Den Beweis hat unser Übungsleiter erst vor 2 Wochen gebracht. Die Idee war bei diesem Beweis die Zahlen aus C zur Basis 3 darzustellen, dann Annahmen zuu Ihrer Darstellung zu treffen und dann per Kontraposition die Abzählbarkeit anzunehmen. Für Zahlen zur Basis 3 gilt etwa: 0,222222222222222222222222... = 1 ich kann da später eventuel noch mehr z sagen. Ich weiß nur nicht ob die Idee so gut für Dich ist.
16.11.2006, 10:40	keine Idee	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du das bitte noch etwas genauer erklären, weil damit kann ich noch nicht viel anfangen und komme also folglich auch keinen Schritt weiter. Danke!
16.11.2006, 13:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist folgende: Man kann jede Zahl im 3ersystem wie folgt darstellen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} = 0.1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} = 0.0222222222222.... \end{eqnarray}$ Jetzt schaut man sich die Cantormenge mal an, man stellt fest das der n-te Schnitt von der Form $\begin{eqnarray} \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray}$ hat. Mit obiger Beobachtung merkt man dann das man alle Zahlen in C so darstellen kann das keine Nachkommastelle = 1 ist. Jetzt nimm an das C abzählbar ist, dann kann man C also so aufschreiben $\begin{eqnarray} C = \{X_1,X_2...\} \end{eqnarray}$ Definiere die Zahl $\begin{eqnarray} b = 0,b_1b_2b_3... \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_i = 0 ~falls~ a_i =2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_i = 2 ~falls~ a_i =0 \end{eqnarray}$ Den Rest sollteste jetzt selber schaffen. Vergleiche einfach mal die $\begin{eqnarray} b ~ und ~ X_i \end{eqnarray}$ , du wirst was feststellen . edit: Das Schwierige ist halt wirklich zu Begründen das die Zahlen in C zur Basis 3 wirklich genau diese Form haben. Die Überabzählbarkeit von C kriegt man dann fast schon geschenkt. edit 2: zu erstens: D ist abgeschlossen, mach dir das klar und dann folgt die Kompaktheit auf dem Fuß.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »