Kurvendiskussion mit Parametern

17.11.2010, 18:11

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion mit Parametern

Hallo, ich bin Deed <- hier komm ich nich mehr rein oder der unregistred Deed1 :P

So ich hab auch mal eine Frage... Schreibe Morgen Schulaufgabe und bin mir doch nicht mehr so sicher wie einiges geht.

Hier die Aufgabe:

Wir betrachten die Funktionenschar fa:x---> $\begin{eqnarray*} fa(x)=\frac {x^2-ax+1}{x-a} \end{eqnarray*}$
mit den Graphen Ga.

1.1 Geben Sie die maximale Definitionsmenge von fa in R in Ahängigkeit von a an.

Da habe ich |D = a ungleich x

stimmt das? ich dachte halt, da x darf nicht 0 werden, damit es definiert ist..

1.2 Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von fa in Abhänigkeit von a ermitteln.
---> x^2-ax+1 = 0 ---> mitternachtsformel

Da steht dann unter der Diskriminante $\begin{eqnarray*} \frac {a+- \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$
D.h für
a<2 keine; bei a = +-2 : x1,2 = +-1 jeweils ne doppelte? ( wenn ja warum, das war geraten :P ) und für a>2 : x1,2 = Diskriminante.

1.3 asymptoten berechnen

Hab ich Polynomdivision gemacht und konnte dann ablesen y=x und x= a

so bei der 1.4 hänge ich irgendwie gewaltig =/

Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten, bei denen Ha eine horizontale Tangente hat ( Extremstellen), in Abhängigkeit von a.

Ich weiß ich brauch die 1 Ableitung muss diese = 0 setzen und dann in die Mitternachtsformel einsetzen... ich packs aber net richtig abzuleiten.. glaub ich.
mein Versuch sieht in etwa so aus ^^

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1-\frac{1}{(x-a)^2} \end{eqnarray*}$

könntet ihr mir weiterhelfen?

Freundliche Grüße =)

17.11.2010, 19:14

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

keiner kann mir helfen? =/ unglücklich

unglücklich

17.11.2010, 19:46

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion mit Parametern

Zitat:

Original von Nullinger
Da habe ich |D = a ungleich x

stimmt das? ich dachte halt, da x darf nicht 0 werden, damit es definiert ist..

Der Nenner darf nicht null werden. Achte auf deine Formulierungen.

$\begin{eqnarray*} D_f = \mathbb R \backslash \{ a \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Nullinger
1.2 Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von fa in Abhänigkeit von a ermitteln.
---> x^2-ax+1 = 0 ---> mitternachtsformel

Da steht dann unter der Diskriminante $\begin{eqnarray*} \frac {a+- \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$
D.h für
a<2 keine; bei a = +-2 : x1,2 = +-1 jeweils ne doppelte? ( wenn ja warum, das war geraten :P ) und für a>2 : x1,2 = Diskriminante.

Keine Nullstellen für a<2? Welchen Wert nimmt denn die Diskriminante zum Beispiel für a=-3 an? Arbeite hier mit Beträgen! Und betrachte auch nochmal den Fall a=+-2. Wieviele Nullstellen erhälst du da?

Zitat:

Original von Nullinger
1.3 asymptoten berechnen

Hab ich Polynomdivision gemacht und konnte dann ablesen y=x und x= a

Einverstanden.

Zitat:

Original von Nullinger
so bei der 1.4 hänge ich irgendwie gewaltig

Warum? Die Ableitung stimmt. Setze diese gleich null.

17.11.2010, 19:51

Kretos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion mit Parametern

Zitat:

Original von Nullinger
1.1 Geben Sie die maximale Definitionsmenge von fa in R in Ahängigkeit von a an.

Da habe ich |D = a ungleich x

stimmt das? ich dachte halt, da x darf nicht 0 werden, damit es definiert ist..

Die Idee stimmt, aber die Schreibweise nicht. Du schreibst stattdessen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb D=\mathbb R^{\neq a}=\mathbb R \setminus \{a\} \end{eqnarray*}$

Welche du von den beiden nimmst, kannst du dir aussuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und nicht das x darf nicht =0 werden, sondern der Nenner!

Zitat:

Original von Nullinger
1.2 Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen von fa in Abhänigkeit von a ermitteln.
---> x^2-ax+1 = 0 ---> mitternachtsformel

Da steht dann unter der Diskriminante $\begin{eqnarray*} \frac {a+- \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$
D.h für
a<2 keine; bei a = +-2 : x1,2 = +-1 jeweils ne doppelte? ( wenn ja warum, das war geraten :P ) und für a>2 : x1,2 = Diskriminante.

Also per pq- Formel komme ich für die Lösungen der Diskrimante auf:
$\begin{eqnarray*} a^{2}=4 \end{eqnarray*}$

Das entspricht ja deinem.
Dann gilt aber weiter jeweils für:

$\begin{eqnarray*} && a=~^{+}_-2 ~ist~ x_{1/2}=\frac{a}{2} \\&& -2<a<2 ~ist~ x_{1/2}=\{~\}\\&& a<-2 \vee a>2 ~ist~ x_{1/2} = \frac {a~^{+}_- \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$

Mit dem Rest mache ich gleich weiter, muss zum Training Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hau rein

17.11.2010, 20:17

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür muss ich die ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1-\frac{1}{(x-a)^2} \end{eqnarray*}$ erweitern oder?

dann bekomm ich die funktion

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{x^2-2ax+a²-1}{(x-a)^2} \end{eqnarray*}$ heraus stimmt das?

Dass, dann gleich 0 setzen und in die Mitternachtsformel einsetzen

$\begin{eqnarray*} \frac {2a+- \sqrt{2a^2-4*1-1}}{2} \end{eqnarray*}$ ??? ich weiß nicht ob das stimmt was ich für c eingesetzt habe..

dann kommt raus: a+- a-3 aber das kann doch nich stimmen oder?

lg

17.11.2010, 20:39

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Da hast du die Formel falsch angewandt. Mach das nochmal ordentlich.

Man kann es aber auch viel einfacher haben:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{(x-a)^2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{(x-a)^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x-a)^2=1 \end{eqnarray*}$

Anzeige

17.11.2010, 20:56

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mulder

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{(x-a)^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x-a)^2=1 \end{eqnarray*}$

Warum ist das :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-a)^2}=1 \end{eqnarray*}$

gleich das?

$\begin{eqnarray*} \ (x-a)^2=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann auflöse:

$\begin{eqnarray*} x^2-a^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \ x=\sqrt{1+a^2}\Rightarrow x=1+a \Rightarrow x1,2 = 1+-a \end{eqnarray*}$

17.11.2010, 21:00

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nullinger
Warum ist das :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-a)^2}=1 \end{eqnarray*}$

gleich das?

$\begin{eqnarray*} \ (x-a)^2=1 \end{eqnarray*}$

Wenn dir das nicht klar ist, dann denk nochmal drüber nach, das ist nämlich Grundschulkram.

Zitat:

Original von Nullinger
Wenn ich das dann auflöse:

$\begin{eqnarray*} x^2-a^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Das vergiss mal ganz schnell wieder und schlag nochmal nach, wie binomische Formeln aussehen. Und es ist auch gar nicht erforderlich, die Klammer nun unbedingt auszumultiplizieren. Es gibt nur zwei Zahlen, deren Quadrat gleich 1 ist, nämlich 1 und -1. Also bleiben zwei Gleichungen zu lösen.

17.11.2010, 21:15

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir wirklich leid aber ich steh grad so aufn schlauch, ich kapier die 2 zeilen immer noch nicht.. könntest du es erklären?

Oh man, echt die binomische Formel übersehn unglücklich

unglücklich

Ich mache nämlich seperat zu der Aufgabe hier, noch ne Probeschulaufgabe.. bei der ich übrigends auch so meine probleme habe, naja.

Danke schon mal =)

EDIT: Wenn mein glied c bei der mitternachtsformel a-1 ist, was setz ich in der mitternachtsformel ein?

17.11.2010, 21:17

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man eine Gleichung der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b}=1 \end{eqnarray*}$

hat, was kann denn b dann nur sein? Multipliziere doch mal auf beiden Seiten mit b.

17.11.2010, 21:26

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man!

Hammer

Schon leicht peinlich irgendwie.

Danke das hab ich nun kapiert.

Aber das, versteh ich immer noch nicht :

Habe nämlich bei der anderen Aufgabe die 1 ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{ax^2+2ax+a-1}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

für die extrempunkte = 0 setzen und Mitternachtsformel.

Ich weiß aber nicht, was ich für das glied c = a-1 in der Mitternachtsformel einsetzen muss.

17.11.2010, 21:31

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion mit Parametern

Zitat:

Original von Nullinger
Ich weiß aber nicht, was ich für das glied c = a-1 in der Mitternachtsformel einsetzen muss.

Du hast schon erkannt, was c ist, aber kannst es nicht einsetzen? Du setzt dafür einfach a-1 ein. Pardon, ich weiß nicht, was ich dazu jetzt schreiben kann.

17.11.2010, 21:52

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, denn für ax^2 setze ich a ein für 2ax , 2a deshalb war ich mir unschlüssig.

die Mitternachtsformel würde dann so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2a+-\sqrt{2a^2-4a(a-1)}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1+-\frac{\sqrt{-2a^2-4}}{2a} \end{eqnarray*}$

und das kann doch nicht stimmen oder?

17.11.2010, 21:56

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion mit Parametern

Zitat:

Original von Nullinger
die Mitternachtsformel würde dann so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{2a+-\sqrt{2a^2-4a(a-1)}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1+-\frac{\sqrt{-2a^2-4}}{2a} \end{eqnarray*}$

und das kann doch nicht stimmen oder?

Du ist ein bisschen schlampig, wenn es ums Einsetzen geht. Erstmal muss es vor der Wurzel -b heißen, das heißt, da steht nicht 2a, sondern MINUS 2a.

Und unter der Wurzel stimmt der erste Term nicht. Was ist denn 2a quadriert? Sicher nicht 2a². Du musst auch die 2 mitquadrieren.

17.11.2010, 22:08

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, bin etwas geschlaucht.

also.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -1+-\frac{\sqrt{-4}}{2a} \end{eqnarray*}$

Aber die Diskriminante darf doch nicht negativ werden oder? Was heißt das dann?

17.11.2010, 22:09

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, hier offenbart sich gleich noch ein Fehler. Minus mal minus ergibt wieder plus.

Edit: Damit keine Missverständnisse auftreten: Hier waren es Rechenfehler, aber wenn die Diskriminante doch negativ wird, dann gibt es eben keine Lösungen. Vorkommen kann das natürlich auch.

17.11.2010, 22:23

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} -1+-\frac{\sqrt{8a^2+4}}{2a} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -1+-\frac{2a\sqrt{6}}{2a} \end{eqnarray*}$

Das stimmt wieder nicht oder?

17.11.2010, 22:30

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kurvendiskussion mit Parametern
Nein, auch nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2-4a(a-1)}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2-4a^2+4a)}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4a}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = -1 \pm \frac{1 } {\sqrt a} \end{eqnarray*}$

17.11.2010, 22:45

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön.

Da hab ich ganz schön Fehler reingehaun.

Hoffentlich passiert mir das nicht morgen, sonst seh ich schwarz...

Danke für Deine Hilfe auch noch zu später Stunde.

EDIT: Was wäre denn gewesen, wenn c aus der mitternachtsformal 1-1 gewesen wäre also 0. Kann man dann mit 0 trotzdem rechnen?

17.11.2010, 22:47

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nullinger
Hoffentlich passiert mir das nicht morgen, sonst seh ich schwarz...

Du machst ja immer wohl das richtige, das sind nur usselige Flüchtigkeitsfehler.

Naja, viel Glück für morgen. Konzentriert und ruhig arbeiten, dann klappt das schon. Wink

Wink

17.11.2010, 22:50

Nullinger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde Dich in Kentniss setzen, wie es gelaufen ist =)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »