Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

17.11.2010, 19:01

Ibn Batuta

Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

Moin,

in Zukunft werde ich meine Grenzwertthreads nummerieren, da das nicht der letzte Thread sein wird, den ich diesbezüglich öffnen werde (und ihr wollt ja hoffentlich auch was zu tun haben Augenzwinkern

). Sollte ich irgendwann ein Grenzwertass werden, werden die Helferinnen und Helfer natürlich mit ´nem Kasten gut bayrischem Bier kredenzt. Bis dahin... Danke für eure Hilfe!

Zurück zum eigentlichen Thema...Also folgendes Problem.

Gegeben ist folgende Folge $\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x!} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ fester Wert!). Die soll ich auf Konvergenz untersuchen und ggbfalls den Grenzwert angeben.

Mein Ansatz:
Irgendwie ´ne Schippe Mist.

Das weiß ich: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ . Meine gegebene Folge kann ich in zwei separate Folgen aufteilen: $\begin{eqnarray*} b_n = n^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n = \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ , die ich beide auf Konvergenz untersuchen kann mit: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \ge N: |a_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Meine Fragen:
a) Wäre das der richtige Ansatz zur Aufgabe? Wenn nein,
b) wie ginge es?
c) Wie komme ich von der Konvergenz auf den Grenzwert? Ich frage deswegen, weil ich, auch ohne die Konvergenz der beiden Teilfolgen mathematisch-formal untersucht zu haben, doch sehe, daß $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ divergent und $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Ibn Batuta

17.11.2010, 19:31

Manni Feinbein

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)
Mit nem kleinen Umweg über die zugehörige Reihe geht das recht flott.

Untersuche also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^k}{n!} \end{eqnarray*}$

auf Konvergenz.

Sollte diese Reihe sich als konvergent erweisen, dann ist damit auch der Grenzwert der zu untersuchenden Folge klar.

17.11.2010, 21:15

Ibn Batuta

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Mit nem kleinen Umweg über die zugehörige Reihe geht das recht flott.

Untersuche also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^k}{n!} \end{eqnarray*}$

auf Konvergenz.

Sollte diese Reihe sich als konvergent erweisen, dann ist damit auch der Grenzwert der zu untersuchenden Folge klar.

Also, ich verwende das Quotientenkriterium, da ich vermute daß diese Reihe konvergiert: $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|\le\epsilon<1 \end{eqnarray*}$ .

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{{\frac{(n+1)^k}{(n+1)!}}}{\frac{n^k}{n!}}=\frac{(n+1)^{k-1}}{n^k} \end{eqnarray*}$

Hier "sehe" ich, daß es für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ strebt. Doch ich muß ja zeigen, daß wieder $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{k-1}}{n^k} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. Kann ich aus dieser Nullfolge wieder eine Reihe machen und das Majorantenkriterium anwenden?

Ibn Batuta

18.11.2010, 08:45

Manni Feinbein

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Hier "sehe" ich, daß es für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ strebt.

Wenn das so ist, dann sollte klar sein dass die Reihe konvergiert.

Wenn nun aber die Reihe konvergiert, welchen Grenzwert muss dann die Folge, über welche in der Reihe summiert wird, haben?

18.11.2010, 08:57

Ibn Batuta

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

Zitat:

Original von Manni Feinbein

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Hier "sehe" ich, daß es für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ strebt.

Wenn das so ist, dann sollte klar sein dass die Reihe konvergiert.

Wenn nun aber die Reihe konvergiert, welchen Grenzwert muss dann die Folge, über welche in der Reihe summiert wird, haben?

Auch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Freude

Danke!

Ibn Batuta

28.01.2011, 09:31

Ibn Batuta

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RE: Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

Zitat:

Sorry, dass ich diesen etwas älteren Thread aus den Tiefen des Forums rauskrame, aber wollte keinen Extra-Thread für diese eine Frage erstellen.

Wenn ich zeigen soll, ob eine Folge konvergiert oder divergiert, kann ich die (immer) über den Umweg über die zugehörige Reihe auch lösen?

Ibn Batuta

28.01.2011, 09:37

Iorek

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Nein, allgemein ist das nicht möglich, dieses Verfahren funktioniert nur für Nullfolgen, und auch da nicht immer wie z.B. die harmonische Reihe zeigt.

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Grenzwertproblem - Reloaded (Part II)

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