Symmetrische Gruppe

15.11.2006, 18:05

chris85

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Symmetrische Gruppe

Zeigen Sie dass die symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist.
Folgern sie dass für jede Menge M mit $\begin{eqnarray*} |M|\geq3 \end{eqnarray*}$ die Gruppe $\begin{eqnarray*} S_M \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist.

Ich weiß: $\begin{eqnarray*} S_3 = S_{(1,2,3)} \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} |M|\geq3 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist!
Eine Gruppe heißt abelsch wenn für alle a,b gilt: $\begin{eqnarray*} aTb = bTa \end{eqnarray*}$ ("Kommutativgesetz" gilt)

Wie fange ich am besten mit der Aufgabe an?

15.11.2006, 18:43

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ Elemente. Diese kannst du nun paarweise verknüpfen und gucken, für welches Paar von Permutationen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ nicht

$\begin{eqnarray*} a\circ b=b\circ a \end{eqnarray*}$

gilt (bzw. ob es ein solches gibt).

Gruß MSS

15.11.2006, 19:10

chris85

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Ist jetzt zwar voll peinlich aber ich weiß nicht mehr wie man das macht! hab gerade bei ; http://de.wikipedia.org/wiki/Permutation ;geschaut aber habs nicht mehr hingekriegt. kannst du mir das mal schnell an einem kleinen bsp. erklären?

15.11.2006, 19:14

tar

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auf der seite, die du gelinkt hast steht doch mehr oder weniger schon warum $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist, oder versteh ich das was falsch oO ?

15.11.2006, 19:39

chris85

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Kann mir jemand erklären wie man zu dem Ergebnis kommt? ich komm nicht mehr drauf!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (132)\circ(23)=(1 3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (23)\circ(132)=(1 2) \end{eqnarray*}$

Ja ich weiß warum $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist! Weil n $\begin{eqnarray*} \geq3 \end{eqnarray*}$ nicht kommutativ ist und damit nicht abelsch sein kann!
Aber das muss ich ja noch beweisen!

15.11.2006, 19:50

tar

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

naja ... wir gehn davon aus $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sei abelsch ... dann muss gelten ... $\begin{eqnarray*} a\circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$
... also um es mit deinem beispiel zu machen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann löste die linke seite zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf .... danach löste die rechte seite auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und hoppla 2 verschiedene ergebnisse oO also gilt $\begin{eqnarray*} a\circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$ nicht und damit ist $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ... oder is das kein beweis?

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15.11.2006, 19:54

tar

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Zitat:

Original von chris85
Kann mir jemand erklären wie man zu dem Ergebnis kommt? ich komm nicht mehr drauf!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

"Man beachte, dass Verknüpfungen von rechts nach links ausgewertet werden: In der zweiten Matrix geht die 1 in die 1, in der ersten die 1 in die 3. Im Ergebnis der Verknüpfung geht also die 1 in die 3. Ebenso: zweite Matrix 2 -> 3, erste Matrix 3 -> 2, Ergebnis 2 -> 2. Und: zweite Matrix 3 -> 2, erste Matrix 2 -> 1, Ergebnis 3 -> 1."

stand doch drunter smile

smile

wie man darauf kommt.

15.11.2006, 20:09

chris85

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ja aber wieso geht die 2 in die 2 und die 3 in die 1 statt 2 in 1 und 3 in 2 ?
da wurde doch dann eine spalte vertauscht!
versteh ich nicht

15.11.2006, 20:15

tar

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na in der 2. matrix steht 3->2 dann schaust was steh in der ersten bei 2 ... siehst da steht 2->1 also 3->2 ...2->1 => 3->1

15.11.2006, 20:20

Mathespezialschüler

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Du fängst bei der rechten Matrix an und nicht bei der linken, das ist das Wichtige dabei!!!

Zitat:

Man beachte, dass Verknüpfungen von rechts nach links ausgewertet werden

Gruß MSS

15.11.2006, 20:29

chris85

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okay jetzt hab ich geblickt Big Laugh

Big Laugh

jetzt versuch ich die mal so zu verknüpfen wie du gesagt hast, MSS!

15.11.2006, 21:01

chris85

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Zitat:

Original von tar

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

naja ... wir gehn davon aus $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ sei abelsch ... dann muss gelten ... $\begin{eqnarray*} a\circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$
... also um es mit deinem beispiel zu machen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann löste die linke seite zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf .... danach löste die rechte seite auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und hoppla 2 verschiedene ergebnisse oO also gilt $\begin{eqnarray*} a\circ b = b \circ a \end{eqnarray*}$ nicht und damit ist $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ... oder is das kein beweis?

Also natürlich ist das ein Beweis!ICh würde es zumindest als einer ansehen!
Wie kann ich daraus jetzt folgern dass für jede Menge $\begin{eqnarray*} |M|\leq3 \end{eqnarray*}$ die Gruppe $\begin{eqnarray*} S_M \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist?

15.11.2006, 21:06

Mathespezialschüler

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Indem du einfach die gleiche Verknüpfung für die ersten drei Zahlen wählst und alle anderen auf sich selbst abbildest. Betrachte also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 & \cdots & n \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 & \cdots & n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 & \cdots & n \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \\ 3 & 1 & 2 & 4 & 5 & \cdots & n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

15.11.2006, 21:37

chris85

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so dass steht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \\ 13& 2 & 1 & 4 & 5 & \cdots & n \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 5 & \cdots & n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht abelsch!

Wäre das dann ein korrekter Beweis?

15.11.2006, 22:23

Mathespezialschüler

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Wenn du aus der $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ noch eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ machst, dann ja!

Gruß MSS

15.11.2006, 22:37

chris85

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ja das hab ich aber auf dem blatt stehen! war wohl nur ein tippfehler!
Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

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