Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)

17.11.2010, 23:41

magMathe

Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)

Hallo,

ich möchte die Quotientenregel herleiten. Aus Wikipedia leuchten mir alle Schritte ein, ausser der hier:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac1{v(x)} \right)' = - \frac{v'(x)}{v^2(x)}. \end{eqnarray*}$

Nennt sich Kehrwertregel...
Klar, dass, wenn man einen "brüchigen" Nenner hat, ihn umkehrt und so multipliziert - aber was hat das damit zu tun?

Kann mir jemand den Schritt erklären?
Danke! magMathe

17.11.2010, 23:47

Mulder

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{v(x)} = (v(x))^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt Kettenregel.

17.11.2010, 23:59

magMathe

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Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)

$\begin{eqnarray*} (v(x))^{-1} = (-1)(v(x))^{(-1)-1} \end{eqnarray*}$

Seh den Wald voller Bäume nicht. Wie wird denn v^(-1) abgeleitet?

18.11.2010, 00:04

magMathe

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wäre dann
$\begin{eqnarray*} (v(x))^{-1} = (-1)(v(x))^{(-1)-1} = -(v(x))^{-1} = \frac{a}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

welches aber nicht
$\begin{eqnarray*} - \frac{v'(x)}{v^2(x)}. \end{eqnarray*}$
entspricht.

Wo kommt das v' auf dem Zähler her?

18.11.2010, 00:08

Nullinger

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Zitat:

Original von magMathe
wäre dann
$\begin{eqnarray*} (v(x))^{-1} = (-1)(v(x))^{(-1)-1} = -(v(x))^{-1} = \frac{a}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

welches aber nicht
$\begin{eqnarray*} - \frac{v'(x)}{v^2(x)}. \end{eqnarray*}$
entspricht.

Wo kommt das v' auf dem Zähler her?

Das hier $\begin{eqnarray*} - \frac{v'(x)}{v^2(x)}. \end{eqnarray*}$ ist glaube ich die vereinfachte Qutientenregel. Diese gilt nur bei einem konstanten Glied im Zähler.

18.11.2010, 00:10

Mulder

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Zitat:

Original von magMathe
Wo kommt das v' auf dem Zähler her?

Gegenfrage: Wo kommt bei dir dieses ominöse a her?

Leite doch z.B. mal

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2)^{-1} \end{eqnarray*}$

mit der Kettenregel ab.

18.11.2010, 00:17

magMathe

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hehe, das "a" kommt aus dem Formeleditor, soll a=1 sein..

(x^2)^(-1) = x^(-2)
abgeleitet: (-2)x^(-3)

verstehe immer noch nicht, warum v' auf dem Zähler steht. ich leite doch nur 1x ab!

danke Nullinger, meine Aufgabe ist es aber die Regeln herzuleiten und keine - ausser Produkt- und Kettenregel - anzuwenden

18.11.2010, 00:27

Mulder

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)

Zitat:

Original von magMathe
(x^2)^(-1) = x^(-2)
abgeleitet: (-2)x^(-3)

Naja, jetzt hast du die Potenzregel verwendet. Ist prinzipiell okay, aber ich hatte hier ja gesagt, dass du es mit der Kettenregel machen sollst (zur Verdeutlichung).

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer verketteten Funktion gleich der inneren Ableitung mal der äußeren Ableitung ist.

$\begin{eqnarray*} \left ( \left (v(x) \right )^{-1} \right )' = \underset{\text{äußere Ableitung}}{-(v(x))^{-2}} \cdot \text{innere Ableitung} \end{eqnarray*}$

Die innere Funktion ist einfach $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung davon ist... was? Genau: Einfach $\begin{eqnarray*} v'(x) \end{eqnarray*}$

18.11.2010, 00:32

Nullinger

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Ich wollte dich nur darauf hinweißen, dass diese Formel nicht die Quotientenregel selbst ist es dürfte somit schwer werden sie so herzuleiten, wie du es vorhast.

18.11.2010, 00:44

Mulder

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)
@Nullinger: Den ganzen Beweis kannst du hier einsehen, das, was "magmathe" da macht, ist wohl in Ordnung.

18.11.2010, 00:56

Nullinger

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Zitat:

@ Mulder. Ich hab mich auf das hier bezogen, $\begin{eqnarray*} - \frac{v'(x)}{v^2(x)}. \end{eqnarray*}$
das ist doch nicht die vollständige Quotientenregel, oder täusch ich mich ( habs jetz im wiki auch nicht gefunden )

18.11.2010, 01:01

Mulder

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)
Die Herleitung, die magmathe anstrebt, basiert auf der Produktregel. Betrachte einen Quotienten der Form

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \end{eqnarray*}$

Das ist gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \cdot (h(x))^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn du das nun mit der Produktregel ableitest, erhälst du eben

$\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x) \cdot (h(x))^{-1} + g(x) \cdot ((h(x))^{-1})' \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} ((h(x))^{-1})' \end{eqnarray*}$ bestimmt man eben mit der Kettenregel. Es ging magmathe ja nur um diesen kleinen Zwischenschritt.

18.11.2010, 01:12

Nullinger

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achso , dann hab ich das ganze falsch verstanden.

18.11.2010, 01:41

derkoch

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)
$\begin{eqnarray*} \left( \frac1{f(x)} \right)' =\lim_ {h\to 0} \left(\frac{1}{h}\right) \cdot \left(\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_ {h\to 0} \left(\frac{1}{h}\right) \cdot \left(\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)} \right)=\lim_ {h\to 0} \left(\frac{1}{f(x+h)\cdot f(x)} \right) \cdot \underbrace{\left(\frac{f(x)-f(x+h)}{h} \right)}_{-f'(x)}= \frac{-f'(x)}{f^2{(x)}} \end{eqnarray*}$

20.11.2010, 00:37

Lucas

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)
Hallo magMathe,

es läßt sich auch leicht mit logarithmischer Ableitung herleiten. Sehr übersichtlich.

$\begin{eqnarray*} y=\frac{u}{v} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u=u(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=v(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln y= ln\left(\frac{u}{v}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}*y'=ln\left(u\right)- ln\left(v\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}*y'=\frac{1}{u}*u'-\frac{1}{v}*v' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{u}{v}*\left(\frac{u'}{u}-\frac{v'}{v} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= \frac{u'}{v}-\frac{u*v'}{v^{2} } \end{eqnarray*}$
...und damit
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{u'*v-u*v'}{v^{2} } \end{eqnarray*}$

mfg Lucas

20.11.2010, 15:05

Lucas

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RE: Herleitung der Quotientenregel (Kehrwertregel)
Hallo magMathe,

ich weiß nicht wo euer Problem liegt. Es gibt zwei einfache Wege um

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{v(x)}\right)' \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
1. Über die Quotientenregel, indem $\begin{eqnarray*} u=1 \end{eqnarray*}$ gesetzt wird oder
2. mit der Ableitung einer Potenz, also $\begin{eqnarray*} \left(x^{n}\right)'= n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$ , nur das x durch eine differenzierbare Funkt. $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ ersetzt wird. Dann allerdings muß die Kettenregel mit ins Spiel, und zwar so:
$\begin{eqnarray*} \left(v^{-1}\right)'= \left(-1\right)*v^{-1-1}*v' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(v^{-1}\right)'= -1*v^{-2}*v' \end{eqnarray*}$ und das ist
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{v(x)}\right)'=-\frac{v'}{v^{2} } \end{eqnarray*}$

mfg Lucas

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