Induktion

18.11.2010, 00:23	diddy449	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion Meine Frage Hallo ich komm und komm hier nicht weiter. Ich habe noch nicht oft Induktionen gemacht und wenn dann waren sie relativ simpel (nur Umformerei) So jetzt habe ich hier $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1},...,x_{n} >0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \pi_{k=1}^{n}x_{k} =1 \end{eqnarray}$ mittels vollständiger Induktion soll bewiesen werden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n x_{k} \geq n \end{eqnarray}$ Meine Idee Ich wollte 3 Fälle unterscheiden 1) $\begin{eqnarray} \forall x_{k} =1 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \exists x_{l} >1 \end{eqnarray}$ , hierfür muss es $\begin{eqnarray} x_{l}^{-1} \end{eqnarray}$ in den Elementen in x_{k} geben, auch wenn dieses aus mehreren oder sogar aus allen anderen Elementen aus $\begin{eqnarray} x_{k} \end{eqnarray}$ bestehen kann. 3) $\begin{eqnarray} \exists x_{m} <1 \end{eqnarray}$ , Folgerungen gleich In meinem Induktionsanfang kann ich ja n=1 setzen und nur dann den ersten Fall betrachten. (Reicht das, um die Richtigkeit meiner Aussage zu testen, weil ich ja eigentlich alle Fälle testen müsste?) Bei meinem Induktionsschritt hatte ich mir überlegt für meine Vorraussetzung zwei Schritte zurückzugehen: $\begin{eqnarray} \pi_{k=1}^{n+1}x_{k} =1 \Rightarrow \pi_{k=1}^{n-1}x_{k} + x_{n} + x_{n+1}=1 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x_{n} + x_{n+1} = 1 = y_{n} \end{eqnarray}$ und bei $\begin{eqnarray} \pi_{k=1}^{n}y_{k} =1 \end{eqnarray}$ betrachte ich dann nur noch meinen ersten Fall, dacht ich mir. Aber jetzt komm ich nicht weiter, von der Vorgehensweise (da noch unerfahren in Induktion), aber auch von der zündenden Idee. Bitte um Hilfsstellung, danke im Voraus.
18.11.2010, 09:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Frage: Darfst du zufällig die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel benutzen? Wenn ja, dann tu das. Wenn nein, müssen wir wohl die Induktion machen. Gehe dazu im Induktionsschritt so vor: Du hast $\begin{eqnarray} x_1 \dotsc x_n \cdot x_{n+1}=1 \end{eqnarray}$ . o.B.d.A können wir $\begin{eqnarray} x_{n+1}>1 \end{eqnarray}$ annehmen (Warum), setze also $\begin{eqnarray} x_{n+1}=(1+h)^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h > 0 \end{eqnarray}$ Nun berechne mal $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n x_k(1+h) \end{eqnarray}$

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